65课件(输油管布置的最优设计方案)1

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1输油管布置的最优设计方案摘要本文解决的是如下的一个关于输油管线布置的优化问题：给定两定点(即两炼油厂)和一条定直线（即铁路线），且两定点在定直线的一侧，求一个最优位置点P，使点P到两定点和定直线的距离（或费用）之和最小。这是三角形“费尔马点”问题的一个推广。针对问题一，采用多元函数最值理论，分共用管线与非共用管线费用相同或不同的情形，对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间的各种不同情形进行了深入细致的讨论，并得到了满意的结果。针对问题二和三，给出各项费用的函数表达式后，与问题一方法类似我们用多元函数极值法，用解析方法求得了最优解，同时也用LINGO编程求得了基本相同的最优值。本文主要结果如下：问题一：共同管道费用与不共用管道费用相同的情况：间的关系与bal,)(30abl)(3)(3ablab)(3abl最优位置点P点坐标),0(a)632,2)(3(lbalba)0,(baal车站E点坐标），（00）0,2)(3(lba）0,(baalS的最小值22)(bala23lba22)(bal费用不相同时结果请见正文。问题二的P点坐标（5.442，1.858），车站E坐标（5.442，0），F点的坐标是（15，7.375），总费用是283.201万。问题三的P点的坐标是（6.717，0.147），车站E坐标（6.717，0），F点的坐标是（15，7.286），总的费用是252.474万元。最后对模型进行了检验和进一步讨论，并做出了评价与推广。关键词：输油管布置；费尔马点；选址；多元函数极值2一、问题的提出某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2.设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）21242033.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。二、模型假设与符号说明假设：1.输油管的布置不考虑地形因素，只考虑平面距离。2.为了便于求解，增建车站在铁路线上，即车站和铁路线没有距离。符号说明：P………………………………………两条输油管线的交点，即最优位置点BA、…………………………………………炼油厂的位置E………………………………………………车站的位置F………………………………………………管线与城郊分界线交点ba、…………………………………………两炼油厂到铁路线的距离c………………………………………………A厂到城郊分界线的距离l………………………………………………两炼油厂纵坐标之差的绝对值S………………………………………………总费用函数………………………………………………共用管线与非共用管线的比值f……………………………城区类管道单位长度建设费用和附加费用之和三、问题的分析费尔马问题是：“在平面上给定A、B、C三点，求一点P使距离和PA+PB+PC达到最小。”本问题是：给定两定点(即炼油厂)和一条定直线（即铁路线），且两定点在定直线的一侧，求一个最优位置点P，使点P到两定点和定直线的距离（或费用）之和最小。这是三角形“费尔马点”问题的一个推广。我们准备采用将P点到两定点和定直线的距离（或费用）函数表示出来后，用多元函数最值理论进行求解分析。4四、模型的建立与求解4.1问题一：结合问题的分析，我们要解决如下问题：在平面内，已知A、B两点在直线L的同侧，在平面内求一点P，使点P到点A、B和直线L的距离之和或费用最小。（其中A、B为两炼油厂的位置，P点为所求的位置点，直线L为铁路线）过A、B点分别作直线L的垂线，垂足为分别为C、D,以C为原点，L为X轴，建立平面直角坐标系（如图一）：E为P点在X轴线上的投影，即增建车站的位置。那么P点到两炼油厂、铁路线的距离之和可表示为：PEPBPAS图一A，B，C，D的坐标分别为：)0,(),0,0(),,(),,0(lDCblBaA。以下解题中我们不妨设ab。设铺设管线PA，PB，PE的单位长度的费用分别为321,,kkk，则所需总费用为：PEkPBkPAkS321我们要使这个费用最低。4.1.1共用管线与非共用管线费用相同情形下：这时，设,1321kkk有PEPBPASXYＣＡＢＰＥD5设点P的坐标P(x,y)(P在四边形ABCD之内或边界上,即,0lx20bay)，则由平面几何知识可知：PEPBPASybylxayx2222)()()(（20,0baylx）根据多元函数最值理论，S的最值只可在四边形ABCD之内的驻点或边界上取得。先求驻点，x,y应满足：）（）（201)()()(10)()()(22222222bylxbyayxayysbylxlxayxxxs下面求解这个方程组：对（1）式移项,得到）（3)()()(2222bylxlxayxx（3）式两边平方得：222222)()())(bylxlxayxx（…………（4）（2）式移项，得到1)()()(2222bylxbyayxay……………（5）（5）式两边平方：1)()()(2)()()()()(22222222bylxbybylxbyayxay……（6）（4）式与（6）式相加，得Ｃ图二AＢXEDPY61=1)()()(2)()()()()()22222222bylxbybylxbybylxlx（整理得，21)()(22bylxby………………………………（7）（7）式两边同时平方41)()()(222bylxby有：22)(3)(bylx……………………………………（8）注意到,,bylx进一步整理得xlyb)(3即blyx33………………………………（9）将（8）式代入（4）式，可得：43)(4)(3)(22222bybyayxx整理得到：222)(334ayxx22)(3ayx……………………（10）由（9）、（10）联立得：lbay632…………………（11）将（11）式代回（9）式解得：lbax21)(23即驻点为lbaylbax6322)(23使S取得最小值的点，应该在四边形ABCD之内的驻点或边界上取得。下面讨论点P选取的各种不同情形：（1）若P在Ａ点上方时，即ay时，如图三，由于ACABPEPBPA，显然，S的最小值在边界上取得，所以此时选点P的坐标为（0,a）,C点(0,0)为车站，即沿CAB建管线，此时22min)(Sbala。7由ay时，即alba632解得此时l与a,b的关系为：)(30abl（2）若P在C点下方时，即0y时，此时显然S的最小值在边界CD上的某一点取得。如图四所示，0y，点P在铁路线下方，作A关于X轴线的对称点'A，连接BA'，直线交于X轴线于E点，那么E点即为车站位置。’A的坐标为(0,-a),’A直线BA'的方程为：axlbay，令0y得baalx，所以点P坐标为)0,(baal时，此时S最小，且22min)(Sbal；此情形时，由,0y即0632lba，得到b)(a3l。（3）当ay0时，即alba6320时，解得l与a,b的关系为：)(3)(3balab此时驻点即为S的最值点，故点P的坐标为前述所求：P)632,2)(3(lbalba，图四YAPＣＢEDX图三ＣAPDXＢYE8此时S最小，且23Sminlba。（如图五）综上所述，l与ba,之间不同关系下的结果为：（1）当)(30abl时，此时点P的坐标为),0(a；E点坐标为），（00，22min)(balaS。（2）当)(3)3balab（时，此时P的坐标为P)632,2)(3(lbalba；E点坐标为）0,2)(3(lba，23minlbaS。（3）当)(3bal时，此时点P坐标为)0,(baal；E点坐标为）0,(baal，22min)(Sbal。4.1.2共用管线与非共用管线费用不相同情形下：不妨设321,1kkk，这样，费用函数为：ybylxayxPEPBPA2222)()()(S令0)()()(0)()()(22222222bylxbyayxayysbylxlxayxxxs图五ＣAPDXＢYE9解得lbaylbax224222)24（与4.1.1同样方法进行分析求解，可得l与a,b的关系不同情形的结果如下：（1）当)(402abl时，P的坐标为),0(a，E点坐标为），（00；22min)(balaS（2）当)(4)(422balab时，P点坐标为)642,2)(4(22lwbalbaw，E点坐标为）0,2)(4(2lbaw；242minlwbaS。（3）当)(42bal时，P坐标为）0,(baal，E点坐标为）0,(baal；22min)(balS。4.2问题二其中虚线左侧为郊区，右侧为市区，A、B点分别为两炼油厂的位置，PE为共ACPPEy)P(x,BDz)F(15,IIIIalcbXY图六10用管线，P、F为动点；又各点距离