搜索
第四章定积分§4.1定积分的概念学习目标思维脉络1.了解曲边梯形的面积求法.2.理解“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想.3.掌握定积分的概念,并会用定义求定积分.4.理解定积分的几何意义和定积分的基本性质.1231.定积分的背景——面积和路程问题面积问题、路程问题以及做功问题是3个实际意义完全不同的问题,但是它们的解决过程是相似的,都是通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值就越接近精确值,当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值.1232.定积分的概念一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像如图所示.将[a,b]区间分成n份,分点为:a=x0x1x2…xn-1xn=b.123第i个小区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在区间[xi-1,xi]上的值最大,设S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最小,设s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,容易验证,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点δi,S'=f(δ1)Δx1+f(δ2)Δx2+…+f(δi)Δxi+…+f(δn)Δxn的值也趋于该常数A,我们称A是函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作𝑏𝑎f(x)dx,即𝑏𝑎f(x)dx=A.其中叫作积分号,a叫作积分的下限,b叫作积分的上限,f(x)叫作被积函数.123温馨提示1.定积分𝑏𝑎f(x)dx是一个常数.2.用定义求定积分的一般步骤:(1)分割:n等分区间[a,b];(2)近似代替:在每个小区间任取ξi;(3)求和:∑𝑖=0𝑛-1f(ξi)·b-an;(4)取极限:𝑏𝑎f(x)dx=𝑙𝑖𝑚n→+∞∑𝑖=0𝑛-1f(ξi)·𝑏-𝑎𝑛.123练一练1直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成曲边梯形的面积为.解析:将区间[0,2]分成n个小区间,则第i个小区间为2(𝑖-1)𝑛,2𝑖𝑛,第i个小区间的面积Si=f2(𝑖-1)𝑛·2𝑛,∴Sn=∑𝑖=1𝑛𝑓2(i-1)n·2n=2n∑i=1n4(𝑖-1)2𝑛2=8𝑛3∑𝑖=1𝑛(i-1)2=8𝑛3[02+12+22+…+(n-1)2]=8𝑛3·(𝑛-1)𝑛(2𝑛-1)6=4(𝑛-1)(2𝑛-1)3𝑛2,S=lim𝑛→+∞Sn=lim𝑛→+∞4(𝑛-1)(2𝑛-1)3𝑛2=83,∴所求曲边梯形的面积为83.答案:831233.定积分的几何意义及性质当f(x)≥0时,𝑏𝑎f(x)dx表示的是y=f(x)与x=a,x=b和x轴所围曲边梯形的面积;当f(x)表示速度关于时间x的函数时,𝑏𝑎f(x)dx表示的是运动物体从x=a到x=b时所走过的路程.性质1:𝑏𝑎1dx=b-a;性质2:𝑏𝑎kf(x)dx=k𝑏𝑎f(x)dx;性质3:𝑏𝑎[f(x)±g(x)]dx=𝑏𝑎f(x)dx±𝑏𝑎g(x)dx;性质4:𝑏𝑎f(x)dx=𝑐𝑎f(x)dx+𝑏𝑐f(x)dx.123练一练2求定积分101-𝑥2dx=.解析:∵被积函数为y=1-𝑥2,其表示的曲线为以原点为圆心,1为半径的四分之一圆,由定积分的几何意义可知,所求的定积分即为该四分之一圆的面积.∴101-𝑥2dx=14π·12=14π.答案:14π探究一探究二探究三探究四探究一利用定积分的定义求定积分典例提升1利用定积分的定义,计算10xdx的值.解:分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个分点,把区间[0,1]等分成n个小区间𝑖-1𝑛,𝑖𝑛(i=1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx=xi-xi-1=𝑖𝑛−𝑖-1𝑛=1𝑛.近似代替、求和:取ξi=𝑖𝑛(i=1,2,…,n),则Sn=∑𝑖=1𝑛𝑓in·Δx=∑i=1n𝑖𝑛·1𝑛=1𝑛2∑𝑖=1𝑛i=1𝑛2×𝑛(𝑛+1)2=𝑛+12𝑛.取极限:10xdx=lim𝑛→∞Sn=lim𝑛→∞𝑛+12𝑛=12.探究一探究二探究三探究四点评求曲边梯形的面积,先将梯形分割成若干个细长条,每个细长条可以近似地看成一个小矩形,那么这些小矩形的面积的和就是曲边梯形的一个近似值,分割越细,这个近似值就越接近于曲边梯形面积的真实值.探究一探究二探究三探究四变式训练1求抛物线f(x)=1+x2与直线x=0,x=1,y=0所围成的平面图形的面积S.解:将区间[0,1]等分成n个小区间𝑖-1𝑛,𝑖𝑛(i=1,2,…,n)其长度为1𝑛,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,其面积分别记为Si(i=1,2,…,n).用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积.Si=f𝑖-1𝑛1𝑛=1+𝑖-1𝑛2·1𝑛(i=1,2,…,n).Sn=∑𝑖=1𝑛Si=∑i=1n1𝑛1+𝑖-1𝑛2.探究一探究二探究三探究四S=lim𝑛→+∞Sn=lim𝑛→+∞∑𝑖=1𝑛1𝑛1+𝑖-1𝑛2=1+lim𝑛→+∞∑𝑖=1𝑛𝑖-1𝑛2·1𝑛=1+lim𝑛→+∞1𝑛·02+12+22+…+(𝑛-1)2𝑛2=1+lim𝑛→+∞1𝑛3·𝑛(𝑛-1)(2𝑛-1)6=1+13=43.探究一探究二探究三探究四探究二定积分的几何意义定积分与曲边梯形的面积关系密切.利用定积分的几何意义求定积分必须准确理解其几何意义,同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外,结合图形更直观形象地辅助解题.典例提升2用定积分的几何意义求:𝑏𝑎(𝑥-𝑎)(𝑏-𝑥)dx(ba)的值.思路分析:明确定积分的几何意义——曲边梯形的面积,结合曲线特点求解.探究一探究二探究三探究四解:令y=f(x)=(𝑥-𝑎)(𝑏-𝑥),则有𝑥-𝑎+𝑏22+y2=𝑏-𝑎22表示以𝑎+𝑏2,0为圆心,半径为𝑏-𝑎2的上半圆,而这个上半圆的面积为S=12πr2=π2𝑏-𝑎22=π(𝑏-𝑎)28,由定积分的几何意义可知,𝑏𝑎(𝑥-𝑎)(𝑏-𝑥)dx=π(𝑏-𝑎)28.点评𝑏𝑎f(x)dx〔f(x)0〕表示曲边梯形的面积,求出曲边梯形的面积,从而得出定积分的值.变式训练2定积分10(1-(𝑥-1)2-x)dx的值为.解析:如图,由定积分的几何意义,可知该定积分表示半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)与直线y=x所围成的阴影部分的面积.即10(1-(𝑥-1)2-x)dx=π×124−12×1×1=π4−12.答案:π4−12探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究三定积分性质应用1.定积分有三条主要的性质:(1)𝑏𝑎kf(x)dx=k𝑏𝑎f(x)dx(k为常数);(2)𝑏𝑎[f(x)±g(x)]dx=𝑏𝑎f(x)dx±𝑏𝑎g(x)dx;(3)𝑏𝑎f(x)dx=𝑐𝑎f(x)dx+𝑏𝑐f(x)dx(acb).2.性质(1)(2)称为定积分的线性性质,性质(3)称为定积分对积分区间的可加性.3.性质(1)的等式左边是一个定积分,等式右边是常数与一个定积分的乘积.4.性质(2)对于有限个函数(两个以上)也成立.性质(3)对于把区间[a,b]分成有限个(两个以上)区间也成立.探究一探究二探究三探究四5.对于定积分的性质(3)可以用图直观地表示出来,如图所示,即S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB.6.在定积分的定义中,𝑏𝑎f(x)dx限定下限小于上限,即ab.为了方便计算,人们把定积分的概念扩大,使下限不一定小于上限,并规定:𝑎𝑏f(x)dx=-𝑏𝑎f(x)dx,𝑎𝑎f(x)dx=0.探究一探究二探究三探究四典例提升3已知𝑏𝑎f(x)dx=2,𝑏𝑎g(x)dx=3.求:(1)𝑏𝑎[f(x)+g(x)]dx;(2)𝑏𝑎[2f(x)-3g(x)]dx.思路分析:利用定积分的性质𝑏𝑎[Af(x)+Bg(x)]dx=A𝑏𝑎f(x)dx+B𝑏𝑎g(x)dx进行解题.探究一探究二探究三探究四解:(1)𝑏𝑎[f(x)+g(x)]dx=𝑏𝑎f(x)dx+𝑏𝑎g(x)dx=2+3=5;(2)𝑏𝑎[2f(x)-3g(x)]dx=𝑏𝑎2f(x)dx-𝑏𝑎3g(x)dx=2𝑏𝑎f(x)dx-3𝑏𝑎g(x)dx=2×2-3×3=-5.点评定积分的性质主要涉及定积分的线性运算,是解决定积分计算问题的重要工具,利用定积分的性质可以把较复杂的被积函数定积分化为简单函数的定积分问题.探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:不理解定积分的几何意义致误典例提升4用定积分表示由y=sinx与直线x=-π,x=0,y=0所围成的图形的面积.错解:所求面积为0-πsinxdx.错因分析:图形在x轴下方,故其面积应等于定积分的相反数.正解:图形面积为-0-πsinxdx.123451.设函数f(x)定义在区间[a,b]上,用分点a=x0x1…xi-1xi…xn=b,把区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点ξi(i=0,1,2,…,n-1),作和式Sn=∑𝑖=0𝑛-1f(ξi)Δx(其中Δx为小区间的长度),那么和式Sn的大小()A.与f(x)和区间[a,b]有关,与分点的个数n和ξi的取法无关B.与f(x)、区间[a,b]和分点个数n有关,与ξi的取法无关C.与f(x)、区间[a,b]和ξi的取法有关,与分点的个数n无关D.与f(x)、区间[a,b]、分点的个数n,ξi的取法都有关答案:D123452.下列式子中不成立的是()A.2π+𝑎𝑎sinxdx=2π+𝑎𝑎cosxdxB.π20sinxdx=π20cosxdxC.π0sinxdx=π0cosxdxD.π0|sinx|dx=π0|cosx|dx解析:分别作出被积函数f(x)=sinx和g(x)=cosx在各区间上的图像,由定积分的几何意义,易得只有C选项不成立.答案:C123453.直线x=0,y=0,x=2与曲线y=(2)x所围成的图形的面积用定积分表示为.答案:20(2)xdx123454.若𝑏𝑎f(x)dx=6,则lim𝑛→∞∑i=0n-1f(ξi)𝑏-𝑎𝑛=.答案:6123455.已知:10x3dx=14,21x3dx=154,21x2dx=73.求:(1)21(3x2-2x3)dx;(2)203x3dx.解:(1)21(3x2-2x3)dx=321x2dx-221x3dx=3×73-2×154=-12;(2)203x3dx=320x3dx=310𝑥3d𝑥+21𝑥3d𝑥=3×14+154=12.