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第五章数系的扩充与复数的引入§5.1数系的扩充与复数的引入学习目标思维脉络1.了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用.2.理解复数的有关概念及意义.3.掌握两复数相等的充要条件.4.了解复平面的概念,理解并掌握复数的几何意义.121.数的概念的扩展把平方等于-1的数用符号i表示,规定i2=-1,我们把i叫作虚数单位.形如a+bi的数叫作复数(其中a,b是实数,i是虚数单位).a与b分别叫作复数的实部与虚部.根据复数a+bi中a,b的取值不同,复数可以有以下的分类:复数a+bi实数(𝑏=0)虚数(𝑏≠0)纯虚数(𝑎=0)非纯虚数(𝑎≠0)复数的全体组成的集合叫作复数集,记作C,显然R⫋C.12测一测1已知m∈R,复数z=𝑚(𝑚-2)𝑚-1+(m2+2m-3)i.若z是纯虚数,则m=.解析:由𝑚(𝑚-2)𝑚-1=0,𝑚2+2𝑚-3≠0,解得m=0或m=2,∴m=0或m=2.答案:0或2122.复数的有关概念两个复数a+bi与c+di相等,当且仅当它们的实部与虚部分别相等,记作a+bi=c+di.即a+bi=c+di当且仅当a=c,且b=d.当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的,即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是对应的.点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,显然|z|=𝑎2+𝑏2.温馨提示1.对于任意实数a,b来说,ab,a=b,ba这三种情况有且只有一种成立;若ab,bc,则ac;若ab,则a+cb+c;若ab,c0,则acbc.2.两个复数一般不能比较大小,但可以比较它们模的大小.12测一测2实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位于复平面的第二象限.故选B.答案:B测一测3已知复数z=a+i(其中a∈R)的模为5,则a的值为.解析:由已知得,𝑎2+1=5,即a2+1=5,解得a=±2.答案:±2探究一探究二探究三探究四探究一复数的概念及分类探究一个复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数时,首先整理成a+bi(a,b∈R)的形式,再根据定义求解即可.典例提升1实数k为何值时,复数(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零.思路分析:根据定义求解.探究一探究二探究三探究四解:由z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,z是实数.(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,z是虚数.(3)当𝑘2-3𝑘-4=0,𝑘2-5𝑘-6≠0,即k=4时,z为纯虚数.(4)当𝑘2-3𝑘-4=0,𝑘2-5𝑘-6=0,即k=-1时,z是0.点评牢记复数的分类是求解此类问题的基础.探究一探究二探究三探究四变式训练1已知复数z=𝑎2-7𝑎+6𝑎2-1+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别是(1)实数,(2)虚数,(3)纯虚数.探究一探究二探究三探究四解:(1)当z为实数时,𝑎2-1≠0,𝑎2-5𝑎-6=0,∴𝑎≠±1,𝑎=-1或𝑎=6.∴当a=6时,z为实数.(2)当z为虚数时,𝑎2-5𝑎-6≠0,𝑎2-1≠0,∴𝑎≠-1且𝑎≠6,𝑎≠±1.∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.(3)当z为纯虚数时,𝑎2-7𝑎+6𝑎2-1=0,𝑎2-5𝑎-6≠0,∴𝑎=6,𝑎≠-1且𝑎≠6.∴不存在实数a,使得z为纯虚数.探究一探究二探究三探究四探究二复数相等及其应用两个复数相等时,应分清两复数的实部和虚部,然后让其实部和虚部分别相等,列出方程组求解.若z=x+yi=a+bi,未说明x,y,a,b为实数时,就不能这样处理.探究一探究二探究三探究四典例提升2(1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值.(2)关于x的方程3x2-𝑎2x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.思路分析:先确定“=”两边复数的实部与虚部,然后由复数相等,建立方程组求解.解:(1)∵x2-y2+2xyi=2i,∴𝑥2-𝑦2=0,2𝑥𝑦=2,解得𝑥=1,𝑦=1或𝑥=-1,𝑦=-1.(2)设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-𝑎2m-1=(10-m-2m2)i,∴3𝑚2-𝑎2𝑚-1=0,10-𝑚-2𝑚2=0,解得a=11或a=-715.点评利用复数的相等可以把复数问题转化为实数问题来解答.探究一探究二探究三探究四变式训练2已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},则实数a的值为.解析:由题意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(a∈R),∴𝑎2-3𝑎-1=3,𝑎2-5𝑎-6=0,即𝑎=4或𝑎=-1,𝑎=6或𝑎=-1,∴a=-1.答案:-1探究一探究二探究三探究四探究三复数的几何意义1.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b).2.复数z的模|z|,表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离,因此|z1-z2|表示z1,z2两复数表示的两点之间的距离.探究一探究二探究三探究四典例提升3已知a∈R,z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z所对应的点的轨迹是什么?思路分析:根据复数与复平面上点的对应关系知,复数z对应的点在第几象限与复数z的实部和虚部的符号有关;求复数z对应的点的轨迹问题,首先把z表示成为z=x+yi(x,y∈R)的形式,然后寻求x,y之间的关系,但要注意参数限定的条件.解:由于a2-2a+4=(a-1)2+30,a2-2a+2=(a-1)2+10,∴复数z的实部为正,虚部为负,即复数z对应的点在第四象限.设z=x+yi(x,y∈R),则𝑥=𝑎2-2𝑎+4,𝑦=-(𝑎2-2𝑎+2).上述两式相加,得x+y=2.又x=a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,∴复数z的对应点的轨迹是一条射线,其方程为x+y-2=0(x≥3).探究一探究二探究三探究四典例提升4已知复数z1=3-i,z2=-12+32i.(1)求|𝑧1|及|𝑧2|的值并比较大小;(2)设z∈C,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形?探究一探究二探究三探究四解:(1)|𝑧1|=|3+i|=(3)2+12=2.|𝑧2|=|-12−32i|=-122+-322=1.所以|𝑧1||𝑧2|.(2)由|z2|≤|z|≤|z1|,得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|=1上及其外部所有点组成的集合,|z|≤2表示圆|z|=2上及其内部所有点组成的集合,故符合题设条件的点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括边界),如图.探究一探究二探究三探究四点评计算复数模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用公式进行计算,两个复数的模可以比较大小.探究一探究二探究三探究四变式训练3满足条件|z|=|5+12i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆解析:∵|5+12i|=52+122=13,∴|z|=13,表示复平面上以(0,0)为圆心,半径为13的圆.答案:C探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:不能真正理解复数模的意义致误典例提升5求方程-5|x|+6=0在复数集上解的个数.错解:∵-5|x|+6=0,∴5|x|=6,即|x|=65,∴x=±65,即原方程在复数集上有两个解.错因分析:此题因忽略在复数集上解方程而导致错误,求解时将|x|看成了实数的绝对值.正解:设x=a+bi(a,b∈R),原方程可化为𝑎2+𝑏2=65,即a2+b2=3625,在复平面上满足此条件的点有无数个,所以原方程在复数集上有无数个解.123451.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为()A.-1B.0C.1D.-1或1解析:∵z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,∴𝑥2-1=0,𝑥-1≠0,∴x=-1.答案:A123452.复数z=3a-6i的模为40,则实数a的值为()A.23B.-23C.±23D.43解析:∵(3a)2+(-6)2=40,∴a=±23.答案:C123453.下列命题中哪个是真命题()A.-1的平方根只有一个B.i是1的四次方根C.i是-1的立方根D.i是方程x6-1=0的根解析:本题考查虚数单位i的特性,解题的关键是弄清虚数单位i的两条性质.因为i满足两条性质,-i的平方也等于-1,因此A不正确;同理i的立方应该等于-i,i6=i2·i2·i2=-1,所以C,D都不正确,答案应为B.答案:B123454.复数z满足|z+3-3i|=3,则|z|的最大值和最小值分别是.解析:|z|表示z的对应点到原点的距离,|z+3-3i|=3,表示以(-3,3)为圆心,以3为半径的圆,则|z|的最大值为(-3)2+3+3=33,最小值为(-3)2+3−3=3.答案:33,3123455.复数z=(m2-5m)+(m2-2m-15)i对应的点A,(1)当点A落在直线x-y-3=0上时,求实数m的值;(2)当点A落在第四象限内时,求实数m的取值范围.解:(1)由题意可知A(m2-5m,m2-2m-15),当点A落在直线x-y-3=0上时,可得m2-5m-(m2-2m-15)-3=0.解得m=4.(2)当点A落在第四象限内时,可得𝑚2-5𝑚0,𝑚2-2𝑚-150,化简可得𝑚0或𝑚5,-3𝑚5.故m∈(-3,0).