2013年高考数学(理科)一轮复习课件第31讲：三角函数的求值、化简与证明

考纲要求考纲研读1.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.三角函数的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关系式、两角和与差的三角函数公式导出二倍角公式，将较复杂的三角函数进行化简．2．化简的方法主要有异角化同角、复(半)角化单角、异次化同次、切函数化弦函数等，化简的结果必须是最简形式.1．转化思想是本节三角变换的基本思想，包括角的变换、函数名的变换、和积变换、次数变换等．三角公式中次数和角的关系：次降角升；次升角降．常用的升次公式有：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.2．三角公式的三大作用(1)三角函数式的化简．(2)三角函数式的求值．(3)三角函数式的证明．3．求三角函数最值的常用方法(1)配方法．(2)化为一个角的三角函数．(3)数形结合法．(4)换元法．(5)基本不等式法等．1．函数y＝cos2x＋2sinxcosx的最小正周期T＝()A．2πB．πC.π2D.π32．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan2β＝()A.16B．－16C.17D．－173．计算1－2sin222.5°的结果等于()A.12B.22C.33D.32BCB5．sin17°cos47°－sin73°cos43°＝_______.4．tan71°－tan11°－3tan71°tan11°的值是()A.3B.33C．0D．1A－12考点1三角函数式的化简例1：(2011年北京)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．解析：(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期为π.本题是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值—1.【互动探究】1．已知函数f(x)＝2cos2x－π4＋1sinx＋π2.(1)求f(x)的定义域；(2)若角α在第一象限且cosα＝35，求f(α)．解：(1)由sinx＋π2≠0，即x≠kπ－π2(k∈Z)，故f(x)的定义域为x|x∈R且x≠kπ－π2，k∈Z.(2)由已知条件得sinα＝1－cos2α＝1－352＝45，从而f(α)＝1＋2cos2α－π4sinα＋π2＝1＋2cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4cosα＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝2cos2α＋2sinαcosαcosα＝2(cosα＋sinα)＝145.考点2三角函数式的求值例2：锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB＝3aca2＋c2－b2.(1)求证：B＝60°；(2)求sin(B＋10°)[1－3tan(B－10°)]的值．解析：(1)∵cosB＝a2＋c2－b22ac，∴3aca2＋c2－b2＝32cosB.由tanB＝32cosB得sinBcosB＝32cosB，∴sinB＝32.∵角B是锐角，∴B＝60°.(2)由(1)得，原式＝sin70°(1－3tan50°)＝sin70°1－3sin50°cos50°＝sin70°cos50°－3sin50°cos50°＝212cos50°－32sin50°sin70°cos50°＝2sin30°cos50°－cos30°sin50°sin70°cos50°＝－2sin20°sin70°cos50°＝－2sin20°cos20°cos50°＝－sin40°cos50°＝－cos50°cos50°＝－1.切化弦和边角统一都是基本方法．关于三角形中的三角函数问题，边角的统一是问题的切入点，等式右边的分子分母均为a，b，c的二次齐次式，所以考虑使用余弦定理．3－sin70°2.2－cos210°＝()C【互动探究】A.12B.22C．2D.32考点3三角函数中的最值问题例3：已知函数f(x)＝4sin2π4＋x－23cos2x－1且给定条件p：“π4≤x≤π2”．(1)求f(x)的最大值及最小值；(2)若又给条件q：“|f(x)－m|2”且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．解析：(1)∵f(x)＝21－cosπ2＋2x－23cos2x－1＝2sin2x－23cos2x＋1＝4sin2x－π3＋1，又∵π4≤x≤π2，∴π6≤2x－π3≤2π3.即3≤4sin2x－π3＋1≤5.∴ymax＝5，ymin＝3.(2)∵|f(x)－m|2，∴m－2f(x)m＋2.又∵p为q的充分条件，∴m－2≤3，m＋2≥5.解得3≤m≤5.不等式恒成立问题，要想办法转化为求最大值、最小值问题.而求三角函数在某区间的最值(范围)时，不要只代两端点，要注意结合图象；p是q的充分条件，有p⊆q.3．设向量m＝(cosx，sinx)，x∈(0，π)，n＝(1，3)．若f(x)＝(m＋n)·n，则函数f(x)的值域为______．(3,6]解析：∵m＋n＝(cosx＋1，sinx＋3)，∴f(x)＝(m＋n)·n＝(cosx＋1，sinx＋3)·(1，3)＝cosx＋1＋3sinx＋3＝232sinx＋12cosx＋4＝2sinx＋π6＋4.∵0xπ，∴π6x＋π67π6.∴－12sinx＋π6≤1⇒－12sinx＋π6≤2∴32sinx＋π6＋4≤6.即函数f(x)的值域为(3,6]．【互动探究】易错、易混、易漏11．三角函数中的二次函数问题，忽视了自变量范围的研究(1)求sinx＋cosx的取值范围；(2)求函数f(x)的最小值．例题：已知函数f(x)＝2sinxcosx＋5sinx＋cosx，x∈0，π2.正解：(1)sinx＋cosx＝222sinx＋22cosx＝2cosπ4sinx＋sinπ4cosx＝2sinx＋π4.∵x∈0，π2，∴x＋π4∈π4，3π4.∴2sinx＋π4∈[1，2]．∴sinx＋cosx的取值范围是[1，2]．(2)设t＝sinx＋cosx，则t2＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx,2sinxcosx＝t2－1.则f(x)＝2sinxcosx＋5sinx＋cosx＝t2＋4t＝t＋4t.设φ(t)＝t＋4t，由(1)知t∈[1，2]，∴φ′(t)＝1－4t20，即函数φ(t)在区间[1，2]上是减函数，其最小值为φ(2)＝2＋42＝32.即x＝π4时，函数f(x)的最小值为32.【失误与防范】认清二次函数问题是解决问题的关键，例如：若sinα＋cosα是“一次”，则sinαcosα是“二次”；若1＋k是“一次”，则2k＋1是“二次”等．1．α，β，α＋β三个角中任何一个角都可以用其他两个角来表示，到底谁是两角和或差要看题目而定．3．化简要求：(1)能求值的要求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使项数尽量少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．2．形如cosαcos2αcos22α…cos2nα的求值问题，只需要将分子分母都乘以2n＋1sinα，应用正弦二倍角公式即可．4．将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种：一是代入法，二是代换法．最常用的代换就是三角代换．形如条件x2＋y2＝1，通常设x＝cosθ，y＝sinθ.在解析几何中常用三角代换，将二元转化为一元问题．向量、解析几何、实际应用中的旋转问题也常引入角变量，转化为三角函数问题．利用三角函数的有界性，可以求函数的定义域、值域等．在进行三角函数的变换与求值时，要注意整体代换的灵活运用，不要一味追求将和差公式展开，如已知tanπ4－α＝3求tanα时，方法一是tanπ4－α＝tanπ4－tanα1－tanπ4·tanα＝3再求解；方法二是tanα＝tanπ4－π4－α＝1－tanπ4－α1＋tanπ4－α再求解．