2013年高考数学(理科)一轮复习课件第73讲：坐标系与参数方程

考纲要求考纲研读1.理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行坐标和直角坐标的互化；能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．３．了解参数方程，了解参数的意义；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.从近几年的高考来看，本部分重点考查直线和圆的极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的互化；参数方程侧重于直线、圆及椭圆参数方程与普通方程的互化.1．坐标系(1)点的极坐标与直角坐标的相互转化公式，当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，点的极坐标与直角坐标的相互转化公式为：_____________________x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx，x≠0.(2)柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式：①柱坐标化为直角坐标公式：_________________；②球坐标化为直角坐标公式：__________________.x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝zx＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ2．参数方程(1)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为__________________，参数θ的几何意义是圆上的点绕圆心旋转的角度．(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为__________________(为参数)．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为______________(为参数)．cos,(sinxarybr为参数)cos,sinxaybsec,tanxayb(4)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为__________(t为参数)．(5)过点P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程为x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)；过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为________________，此时|t|表示参数t对应的点M(x，y)到定点M0(x0，y0)的距离．x＝2pt2，y＝2ptx＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα1．点M的直角坐标是(－1，3)，则点M的极坐标为()A.2，π3B.2，－π3C.2，2π3D.2，2kπ＋π3(k∈Z)C率为()2．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为()A.x＋122＋y2＝14B．x2＋y＋122＝14C．x2＋y－122＝14D.x－122＋y2＝143．若直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的斜A.23B．－23C.32D．－32DD5．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为______.4．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6，直线l的参数方程为________________________．x＝1＋32t，y＝1＋12t(t为参数)22考点1极坐标与直角坐标的相互转化例1：①(2011年安徽)在极坐标系中，点2，π3到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为()A．2B.4＋π29C.1＋π29D.3解析：极坐标2，π3化为直角坐标为2cosπ3，2sinπ3，即(1，3)．圆的极坐标方程ρ＝2cosθ可化为ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.所以圆心坐标为(1,0)．则由两点间距离公式d＝1－12＋3－02＝3.故选D.答案：D②(2011年江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为______________________．x2＋y2－4x－2y＝0解析：根据已知ρ＝2sinθ＋4cosθ＝2·yρ＋4xρ，化简可得：ρ2＝2y＋4x＝x2＋y2.所以解析式为：x2＋y2－4x－2y＝0【互动探究】1．极坐标方程分别为ρ＝2cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为____.本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，一定要记住两点：①x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ；②ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx.即可．直角坐标化为极坐标方程比较容易，只是将公式x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换，其中方程两边同时乘以ρ及方程两边平方是常用的变形方法．52考点2参数方程与普通方程的相互转化例2：(2011年广东)已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为___________．解析：x＝5cosθ，y＝sinθ表示椭圆x25＋y2＝1(－5x≤5且0≤y≤1).x＝54t2，y＝t表示抛物线y2＝45x.x25＋y2＝1(－5x≤5且0≤y≤1)y2＝45x⇒x2＋4x－5＝0⇒x＝1或x＝－5(舍去)．又因为0≤y≤1，所以它们的交点坐标为1，255.答案：1，255常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参数方程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、椭圆的参数方程)等．经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确保普通方程与参数方程等价．【互动探究】与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为_______________.2．(2010年天津)已知圆C的圆心是直线x＝t，y＝1＋t(t为参数)(x＋1)2＋y2＝2)的点的个数为(A．1个B．2个C．3个D．4个3．(2010年安徽)设曲线C的参数方程为x＝2＋3cosθy＝－1＋3sinθ(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为71010B考点3极坐标与参数方程的综合应用例3：(2011年福建)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为4，π2，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．解析：(1)点P的极坐标为4，π2，则直角坐标为(0,4)．把P(0,4)代入直线l的方程x－y＋4＝0，因为0－4＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q是曲线C上的一个动点，则点Q的坐标可设为Q3cosα，sinα.点Q到直线l的距离为d＝|3cosα－sinα＋4|2＝2cosα＋π6＋42＝2cosα＋π6＋22.所以当cosα＋π6＝－1时，d取得最小值2.【互动探究】4．(2011年湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为___个．2易错、易混、易漏28．参数方程与普通方程互化时应注意参数的取值范围()A．y＝x－2C．y＝x－2(2≤x≤3)B．y＝x＋2D．y＝x＋2(0≤y≤1)例题：将参数方程x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为解析：转化为普通方程：y＝x－2，且x∈[2,3]，故选C.C【失误与防范】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．本题很容易忽略参数方程中0≤sin2θ≤1的限制而错选A.1．极坐标、柱坐标、球坐标与直角坐标互化的关键是熟练应用公式．2．参数方程化为普通方程消参数的方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法等．普通方程化为参数方程：关键是如何引入参数．若动点坐标x，y与旋转角有关时，通常选择角为参数；与运动有关的问题，通常选择时间为参数．1．同直角坐标一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程和参数方程也会不同．2．极坐标与直角坐标之间可以进行互化，在没有充分理解极坐标的前提下，可以通过直角坐标解决问题．对于参数方程，同样遵循以上原则．3．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．最常见的题型是考查半圆．