2013年高考数学总复习 3-4 定积分与微积分基本定理(理)课件 新人教B版

第四节定积分与微积分基本定理(理)重点难点重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分．难点：用定义求定积分知识归纳1．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ζi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ζi)Δx＝i＝1nb－anf(ζi)，当n→∞时，此和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝limn→∞i＝1nb－anf(ζi)，这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．对定义的几点说明：(1)定积分abf(x)dx是一个常数．(2)用定义求定积分的一般方法是：①均匀分割：n等分区间[a，b]；②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；③求和：i＝1nf(ξi)·b－an；④取极限：abf(x)dx＝limn→∞i＝1nf(ξi)·b－an.(3)定积分abf(x)dx的值只与被积函数f(x)及积分区间[a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关．2．定积分的几何意义当f(x)≥0时，定积分abf(x)dx的几何意义：表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．当y0时，即曲边梯形在x轴的下方时abf(x)dx在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数．一般情况下(如右图)，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a、x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．3．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)acf(x)dx＋cbf(x)dx＝(其中acb)kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxabf(x)dx4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记成F(x)|ba，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．F(b)－F(a)．F(b)－F(a)．一、思想方法(1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式．(2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似代替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的极限思想．(3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求定积分常用的方法．(4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．二、解题技巧1．(1)用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体会定积分的基本思想方法．(2)用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足f′(x)＝f(x)的函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．(4)利用定积分求曲线所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．2.由两条直线x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：S＝ab[f(x)－g(x)]dx(如右图)．[例1]用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0围成的图形的面积．利用定义求定积分[解析](1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间i－1n，in(i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝1n，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为ΔSi(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，ΔSi＝fi－1nΔx＝3·i－1n·1n＝3n2(i－1)，(i＝1,2，…，n)．(3)作和：i＝1nΔSi＝i＝1n3n2(i－1)＝3n2[1＋2＋…＋(n－1)]＝32·n－1n.(4)求极限：S＝limn→∞i＝1n3n2(i－1)＝limn→∞32·n－1n＝32.[点评]要熟练掌握用定义求定积分的步骤．你能利用定积分的定义求直线x＝1，x＝2，y＝0和曲线y＝x3围成的图形的面积吗？答案：154.[例2](2010·深圳市调研)曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()定积分的几何意义解析：当x∈[0，π2]时，y＝sinx与y＝cosx的图象的交点坐标为π4，22，作图可知曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝π4，x＝π2所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D.答案：D解析：由积分的几何意义知：表示以(0,0)点为圆心，r＝4为半径的圆在x轴上方部分的面积，所以＝12×π×42＝8π.答案：8π点评：理解被积函数的几何意义，是解决这类问题的突破口.定积分的性质与微积分基本定理解析：解析：答案：(1)143(2)12(3)π－24[例4](2011·菏泽期末)曲线y＝x，y＝2－x及y＝－13x所围成图形的面积为________．利用定积分求平面图形的面积解析：先画出各曲线如图．答案：136(2011·湖南高考)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.3解析：如图为y＝cosx在[－π3，π3]上的图象．答案：D[例5]如图所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a1)交于点O、A，直线x＝t(0t≤1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连结OD、DA、AB.综合应用(1)写出曲线段OD、DA、AB和曲线OB︵所围成的曲．边四边形．．．．ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．解析：(1)由y＝x2y＝－x2＋2ax得点O(0,0)，A(a，a2)．又由已知得B(t，－t2＋2at)，D(t，t2)．故S＝0t(－x2＋2ax)dx－12·t·t2＋12(－t2＋2at－t2)×(a－t)(2)f′(t)＝12t2－2at＋a2，令f′(t)＝0，即12t2－2at＋a2＝0，解得t＝(2－2)a或t＝(2＋2)a.∵0t≤1，a1，∴t＝(2＋2)a应舍去．若(2－2)a≥1，即a≥12－2＝2＋22时，∵0t≤1，∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S的最大值是f(1)＝a2－a＋16.若(2－2)a1，即1a2＋22时，当0t(2－2)a时，f′(t)0，当(2－2)at≤1时，f′(t)0.∴f(t)在区间(0，(2－2)a)上单调递增，在区间((2－2)a,1]上单调递减．∴f(t)的最大值是f[(2－2)a]＝16[(2－2)a]3－a[(2－2)a]2＋a2(2－2)a＝22－23a3.综上所述，[f(t)]max＝a2－a＋16a≥2＋2222－23a31a2＋22.已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得a－b＋c＝2b＝0，即c＝2－ab＝0，∴f(x)＝ax2＋(2－a)．又01f(x)dx＝01[ax2＋(2－a)]dx＝[13ax3＋(2－a)x]|10＝2－23a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.[答案]D[解析]2．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2，则a的值为()A．6B．4C．3D．2[答案]D[解析]∵1a2x＋1xdx＝(x2＋lnx)|a1＝a2＋lna－(12＋ln1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2∴a＝2.3．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数f(x)＝1x1tdt，若f(x)a3，则x的取值范围是()A.36，＋∞B．(0，e21)C．(e－11，e)D．(0，e11)[答案]D[解析]f(x)＝1x1tdt＝lnt|x1＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx11得，0xe11.二、填空题4.[答案]10[解析]∵|x＋1|＋|x－1|＝－2xx≤－12－1x12xx≥1，[点评]由定积分的几何意义知，积分值为图中阴影部分的面积．