函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点初探

2014年第11期福建中学数学391(1)1951(2)351nnnnxf−−−⋅−∴==⋅+．本题的解法可用程序框图表示如下（如图6）：在应用RMI原理解题时，必须根据具体情况灵活运用，不能生搬硬套，要在实际的解题中去理解和掌握有关技巧．参考文献[1]徐利治，郑毓信．关系映射反演原则及应用．大连：大连理工大学出版社，2008[2]蒋亮．“RMI原理”下的解析几何教学．中学数学教学参考（上旬），2012（5）：16-18[3]岳建良，邱山．发散提升理解，回归促进掌握．中学数学教学参考（上旬），2012（5）：26-30[4]林国夫．利用函数不动点求数学的通项公式．数学通报，2008，47（12）：44-47[5]任韩．数学奥林匹克命题人讲座—图论．上海：上海科技教育出版社，2009函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点初探苏艺伟福建省龙海第一中学（363100）近期，笔者在期刊上阅览了较多关于函数不动点的相关文章．很多关于函数不动点的文章都涉及到较为复杂的证明，体现出了撰写者深厚的数学功底．但是对于初步接触到这类知识点的学生或年轻教师来讲，这些文章显然太过深奥了，不易接受．基于此，笔者试图通过本文用较为通俗易懂的语言来阐述函数的不动点等相关知识，让那些初学者能够容易地接受．不足之处，恳请各位同行批评指正．相关概念一阶不动点：对于函数()yfx=，定义域为I，如果存在0xI∈，使得00()fxx=，则称0x为函数()fx的一阶不动点，简称不动点．根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解不动点：①从代数的角度，不动点是方程组()yfxyx=⎧⎨=⎩的解00()xy，中的0x；②从图象的角度，不动点是()yfx=和yx=图象的交点横坐标；二阶不动点：对于函数()yfx=，定义域为I，如果存在0xI∈，使得00(())ffxx=，则称0x为函数()fx的二阶不动点，简称稳定点．根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解稳定点：①从代数的角度，稳定点是方程组1221()()fxxfxx=⎧⎨=⎩的解(这里的1x，2x可能相等)．显然12()Axx，，21()Bxx，这两个点都在函数()yfx=的图象上．当12xx≠时，A，B两点关于直线yx=对称．②从图象的角度，稳定点是()yfx=和yx=图象的交点横坐标以及()yfx=图象上关于直线yx=对称的两点的横坐标．二阶周期点：对于函数()yfx=，定义域为I，如果存在0xI∈，使得00(())ffxx=，且00()fxx≠，则称0x为函数()fx的二阶周期点，简称周期点．根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解周期点：①从代数的角度，周期点是方程组122112()()fxxfxxxx=⎧⎪=⎨⎪≠⎩，，，的解；②从图象的角度，周期点是()yfx=图象上关于直线yx=对称的两点的横坐标．三者的关系根据上述定义以及分析，我们从两方面来理解三者的关系：①从集合的角度：设U={稳定点}，A={不动点}，则AU⊆，UCA={周期点}因此，不动点一定是稳定点，稳定点不一定是不动点．不动点是稳定点的充分不必要条件．②从图象的角度：不动点是()yfx=和yx=图象的交点横坐标；周期点是()yfx=图象上关于直线数列问题函数问题ϕ{}nx通项公式()()nfx表达式1−ϕ映射反演图6ϕ1−ϕ映射反演函数问题()()ngx表达式40福建中学数学2014年第11期yx=对称的两点的横坐标；稳定点是()yfx=和yx=图象的交点横坐标以及()yfx=图象上关于直线yx=对称的两点的横坐标．下面，举例说明如何求出一个函数的不动点，稳定点，周期点．例1设2()21fxx=−，令221xx−=，解得112x=−，21x=．因此12−和1是函数的不动点．令344334()()fxxfxxxx=⎧⎪=⎨⎪≠⎩，，，得234243342121.xxxxxx⎧−=⎪−=⎨⎪≠⎩，，两式相减，得3412xx+=−，再代入其中一个表达式，得3415=41+5=.4xx⎧−−⎪⎪⎨−⎪⎪⎩，154−−∴和1+54−是函数的周期点．故12−，1，154−−，1+54−是函数的稳定点．现在画出图象，可以看出，不动点是函数图象与直线yx=的交点的横坐标；而稳定点还可以理解成函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标．从本题我们还可以看到，两个周期点分别属于两个不同的单调区间．一些重要的性质：性质1若函数()yfx=单调递增，则不动点等价于稳定点．证明若函数()yfx=有不动点0x，显然它也有稳定点0x；若函数()yfx=有稳定点0x，即00(())ffxx=．设00()fxy=，则00()fyx=，即00()xy，和00()yx，都在()yfx=函数图象上，假设00xy，()yfx=∵是增函数，则00()()fxfy，即00yx，与假设矛盾；假设00xy，()yfx=∵是增函数，则00()()fxfy，即00yx，与假设矛盾；故00xy=，即00()fxx=．()yfx=有不动点0x．例2（2013年高考四川卷·理10）设函数()exfxxa=+−（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线sinyx=上存在点00()xy，使00(())ffyy=成立，则a的取值范围是（）A．[1e]，B．1[e11]−−，C．[1e1]+，D．1[e1e1]−−+，解析根据复合函数的单调性，可以判断()fx=exxa+−为增函数；又因为存在0[11]y∈−，使00(())ffyy=，即有稳定点0y，根据性质1，必有不动点0y，使得00()fyy=且0[01]y∈，，即()exfxxax=+−=在[01]x∈，有解，整理可得2exaxx=+−在[01]x∈，有解，令2()exgxxx=+−，[01]x∈，，()e120xgxx′=+−∵，()gx∴在[01]x∈，单调递增，故[1e]a∈，．评注本道题目是2013年四川高考选择题的压轴题，如果考生掌握了函数不动点的这些基本知识和性质，则可轻松作答．性质2若函数()yfx=存在二阶周期点，则必然成对出现，且二阶周期点必定存在不同的单调区间内．性质3若函数()yfx=存在一对二阶周期点1x，2x12()xx≠，则()yfx=图象上必存在一对关于直线yx=对称的点12()Axx，，21()Bxx，．限于篇幅，略去性质2，3的证明．例2（2013年高考江西卷·文21改编）设10()1(1)11xxaafxxaxa⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪−≤≤⎪−⎩，，，，a为常数，(01)a∈，．若0x满足00(())ffxx=，但00()fxx≠，则称0x为()fx的二阶周期点．若函数()fx有且仅有两个二阶周期点，请求出二阶周期点1x，2x．证明法1代数法设函数()fx的二阶周期点为xyyx=221yx=−12xy+=±xyyx=221yx=−2014年第11期福建中学数学411x，2x．不妨设12xx，由性质2可知，1x，2x不能属于同一个单调区间．因此必有1201xax．由1221()()fxxfxx=⎧⎨=⎩，，得122111(1)1xxaxxa⎧=⎪⎪⎨⎪−=⎪−⎩，，解得1222111axaaxaa⎧=⎪⎪+−⎨⎪=⎪+−⎩，，∴函数的二阶周期点为21aaa+−和211aa+−．法2图象法画出()fx的图象，由性质3，作出点(1)Aa，关于直线yx=的对称点(1)Ba，，则直线OB的方程为yax=，联立1(1)1yaxyxa=⎧⎪⎨=−⎪−⎩，，解得22111axaayaa⎧=⎪⎪+−⎨⎪=⎪+−⎩，，∴函数的二阶周期点为21aaa+−和211aa+−．评注本题要求二阶周期点，利用周期点的代数条件或者几何意义，结合性质2，3求解．解法2数形结合，计算更为简捷，体现了多思少算的策略．例3（2013年高考江西卷·理21改编）设1()(12||)2fxax=−−，a为常数，0a．若0x满足00(())ffxx=，但00()fxx≠，则称0x为()fx的二阶周期点．若函数()fx有且仅有两个二阶周期点，求a的取值范围．解1212()(12||)=12222axxfxaxaxax⎧≤⎪⎪=−−⎨⎪−+⎪⎩，，，，解法1代数法设函数()fx的二阶周期点为1x，2x，不妨设12xx，由性质2可知1x，2x不能属于同一个单调区间．因此必有1212xx．故有1221222axxaxax=⎧⎨−+=⎩，，解得1221+4axa=，22241+4axa=，由22221421+41+4aaaa，解得12a．解法2图象法画出()fx的图象，作出点1()2Aa,关于直线yx=的对称点1()2Ba，，则直线OB的方程，为12yxa=，直线CA方程为2+2yaxa=−．根据性质3，直线OB与CA要有一个交点，联立1222yxayaxa⎧=⎪⎨⎪=−+⎩，，解得22414axa=+．观察图象易知令224121+4aa，解得12a．解法3图象法画出()fx的图象，作出点A关于直线yx=的对称点B，根据性质3，直线OB与CA要有一个交点，则直线OA的斜率必须大于直线yx=的斜率，21a∴，解得12a．评注本题已知函数有两个二阶周期点，求参数取值范围，仍然是利用周期点的代数条件或者几何意义，结合性质2，3求解．解法2，3都是数形结合，不同之处在于解法3进行了大胆细致的观察，充分发挥图象的优点，得到“直线OA的斜率必须大于直线yx=的斜率”这样一个隐含的条件，从而迅速求解．例4对于函数()yfx=，若00()fxx=，则称0x为函数()fx的不动点；若00(())ffxx=，则称0x为函数()fx的稳定点．如果函数2()fxxa=+的稳定点恰是它的不动点，求a的取值范围．解法1代数法由已知()fxx=有解，即二次方程20xxa−+=有解．令0Δ≥，解得14a≤，又函数没有二阶周期点，所以方程122112()()fxxfxxxx=⎧⎪=⎨⎪≠⎩，，，无解．由212221xaxxax⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，两式相减得121xx+=−，再代入其中一个表达式，得21110xxa+++=．因为该方程为二次方程，它无解或有两个相等实根，则0Δ≤，解得34a≥−．Oxyyx=AB42福建中学数学2014年第11期综上31[]44a∈−，．解法2图象法由已知()fxx=有解，即二次方程20xxa−+=有解．令0Δ≥，解得14a≤．又函数没有二阶周期点，所以在()yfx=图象上，不存在两个点关于直线yx=对称．假设在()yfx=图象上，存在两个点yx=11()Axy，，22()Bxy，，关于直线yx=对称．设直线AB方程为yxm=−+，联立2yxmyxa=−+⎧⎨=+⎩，，得20xxam−+−=，因为直线AB与抛物线相交，0∴Δ，解得14()0am−−…（1）由韦达定理有121xx+=−，设P为AB中点，则P的横坐标为12−．又P在直线yx=上，所以P的纵坐标为12−，故12122yy+=−，即12()()122xmxm−++−+=−，解得1m=−，代入(1)得34a−．因此符合题意的34a≥−．综上31[]44a∈−，．评注本题条件为稳定点恰好是周期点，说明不存在周期点．因此利用周期点的代数条件或者几何意义来的反面来做．解法2实际上是转化为圆锥曲线中点的对称问题来求解．结束语本文初步探讨了函数的一阶不动点，二阶不动点，二阶周期点这三者的概念，关系，代数求解以及几何求解．其中有一些性质，结论，笔者没有给出证明，但这并不会妨碍初学者对它们的理解，学习．此外，对于本文列举到的相关习题，在一些参考书上也有出现．但是笔者认为那些解法较难操作，因此在参考的基础上笔者对一些题目进行加工，创新，融入了自己的解法，这样会使初学者更容易接受，理解．三角求值中删除“增解”的基本方法刘宜兵袁昌芹湖北省宜都市第一中学（443300）有这样一道题：在ABCΔ中，已知3sin5A=，5cos13B=，求cosC的值．许多学生学是这样解的：解3sin5A=∵，4cos5A∴=±，5cos13B=∵，12sin13B∴=．从而cosco