函数的值域与单调性专题讲解及精练[征稿]

1函数的值域与函数的单调性我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分内容．通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法．[知识要点]一．函数的值域求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等．二．函数的单调性1．定义如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时,都有f(x1)f(x2)，那么就称f(x)在这个区间是增函数；如果对于给定区间上任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称f(x)在这个区间上是减函数．如果y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间．注：在定义域内的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题．2．函数单调性的运算规律在共同的定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则：（1）f1(x)+f2(x)是增函数；（2）g1(x)+g2(x)是减函数；（3）f(x)-g(x)是增函数；（4）g(x)-f(x)是减函数．[典型例题]一．函数值域的求法（一）配方法例1．的值域求函数2234xxy解：.4244)1(4224)1(044)1(04)1(42222yxxxxy值域2例2求函数y=2x+2-3×4x(-1≤x≤0)的值域解y=2x+2-3·4x=4·2x-3·22x令2x=t12101tx3411,3434)32(3]949434[343minmax222yyyttttty例3．的值域求函数xxy53解：530503xxx得由∴函数定义域为[3,5]22042)4(122)5)(3(22222yyyxxxy又]2,2[函数的值域为例4．若实数x、y满足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域解：∵4y2=4x-x2≥0∴x2-4x≤0，即0≤x≤431)32(434344222222xxxxxxyxS∴当x=4时，Smax=16当x=0时，Smin=0∴值域0≤S≤16例5．已知函数y=f(x)=x2+ax+3在区间x∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a的值．分析：32)(axxfy称轴的抛物线，由于它的对的图象是一条开口向上因为的位置取决于a，而函数的自变量x限定在[-1，1]内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．解：43)2()(22aaxxfy734)1(212)1(minaafyaa时，，即当)(62343)2(22121)2(2min舍得，时，，即当aaafyaa734)1(212)3(minaafyaa时，即，当综合（1）（2）（3）可得：a=±7（二）判别式法例6．的值域求函数322122xxxxy解由已知得(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0(*)210123(*)21012)1(yyy式：，代入，则若（2）若2y-1≠0，则∵x∈R∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0即(2y-1)(10y-3)≤02110321103yy值域例7．的值域求函数63422xxxxy4解由已知得(y-1)x2+(y-4)x-(6y+3)=0(*)①若y=1，代入（*）式-3x-9=0∴x=-3，此时原函数分母x2+x-6的值为0∴y≠1②若y≠1，则∵x∈R∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0化简可得(5y-2)2≥0，则y∈R.521523(*)52yyyxy且值域式得时，代入但当说明：分母”的方法，化成的值域，常可利用“去求形如fexdxcbxaxy22m(y)x2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x∈R，由Δ≥0求出y的取值范围，但需注意两点：（1）要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式；（2）在求出y的取值范围后，要注意“=”能否取到．（三）换元法例8．的值域求函数2341812322xxxxy解：2044)2(44)3(3231834423418)4(3222222222txxxtttytxxtxxxxxxy，知由，则令∴ymax=1，ymin=-23∴原函数值域-23≤y≤1例9．的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]94,83[)(xfxfxgyxf解：5]87,97[87219731]21,31[11)1(21)1(21)1(21)()2131()(2121)(213141)(219194)(83maxmin222yytyttttytxfttxfxfxfxf时，当时，当，而，则令（四）利用函数的单调性例10．的值域求函数12xxy解：均在定义域内单调递增，1221xyxy1)1(111212minyxyxxxyxxy原函数值域时当的定义域是而调递增在公共定义域范围内单例11．的值域，求函数已知xxyx122]1,0[解：在定义域范围内单增，在定义域范围内单调递xyxy12221调递减212)1(202)0(12]1,0[122maxminyxyxyxxxy原函数值域时当时当内单调递增在6说明在利用函数的单调性求值域时，应注意如下结论：在共同定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则（1）f1(x)+f2(x)是增函数；（2）g1(x)+g2(x)是减函数；（3）f(x)-g(x)是增函数；（4）g(x)-f(x)是减函数．但当两个单调函数之间的运算符号为“x”、“÷”时，则不具有这种规律．（五）基本不等式法这种方法是利用如下的“基本不等式”和与“复数的模”有关的不等式求函数值域．)()3(,3)2(),()2(,2)1(332时取等号均为正数，当且仅当、、这里时取等号为正数，当且仅当这里cbacbacbaabcabccbabababaababba||||||||||||)3(212121zzzzzz例12．的值域求函数12322xxy解：}162|{224262323162123622322342422222222yyxxxxxxxyxxxx值域是有得得又由由例13．的值域求函数21||xxy解：212212121)1(max222222yxxxxxxxy时，，即当且仅当∵y≥0]21,0[函数的值域是7例14．的值域求函数2222)(xaaxay解：||5|2|||||||)()(,2121222221aaiazzzzxaaxayixaazxiaz则令又y是x的连续函数],||5[ay（六）利用原函数的反函数（反表示法）如果一个函数的反函数存在，那么反函数的定义域就是原函数的值域．例15．的值域求函数xxxxy10101010解y·10x+y·10-x=10x-10-x即y·102x+y=102x-1∴1+y=(1-y)·102x11101010101101111lg2111lg2yyyyyyyxyyxxxxx的值域是即原函数定义域即（七）利用已知函数的值域例16．的值域求函数xxycos3sin1解利用三角函数的值域来求值域，把函数式去分母变形得：ycosx-sinx=1-3y8]43,0[4301|131|1|)sin(|131)sin(,tan31)sin11cos1(122222所以函数的值域为解得：，所以因为令即yyyxyyxyyxyxyyy（八）图象法例17．的值域求2)2(|1|xxy解：)2(12)21(3)1(12|2||1|xxxxxxxy由图象知：值域为y≥3（九）利用导数求值域此种方法在本学期学习导数的应用时已作了详尽的阐述，这里就不再多说了．二．函数的单调性（一）函数单调性的判定1．利用已知函数的单调性例1若y=(2k+1)x+b是R上的减函数，则有（）21)(21)(21)(21)(kDkCkBkA解：选D说明：函数y=kx+b，当k0时是增函数；k=0时是常函数；k0时是减函数．例2．的单调递；函数的单调递减区间是函数xyxy11______________1减区间是__________________．解：9的单调递；函数和的单调递减区间是函数xyxy11),0()0,(1减区间是（-∞,-1）和（-1,+∞）．说明：函数的两个单调区间之间可以用“，”或“和”字连接，而不能用符号“∪”连的单调递减区间求得，利用设为的单调递减区间可将函数接tytxxy1,111..11得到的图象，从图象上观察也可画出xy例3函数f(x)=4x2-mx+5，当x∈(-2,+∞)时是增函数，则m的取值范围是_________；当x∈(-2,+∞)时是增函数，当x∈(-∞,-2)时是减函数，则f(1)=________________.解：1628),2(54)(2mmxmxxxf时是增函数，则当若28)2,(),2()(mxxxf则时是减函数，时是增函数，当当若∴m=-16∴f(1)=4+16+5=252．利用定义判定或证明函数的单调性例4根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x3+1在R上是减函数．证明在（-∞,+∞）上任取x1、x2，且x1x2，则f(x2)-f(x1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)∵x1x2∴x1-x20当x1x20时，有x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x20当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x220∴f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)0即f(x2)f(x1)所以函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数说明)(]43)21[()()()()1(2212122112xfxxxxxxfxf来判断变形为本题也可将-f(x1)的符号；同学们也不妨应用导数的知识来解决本题．（2）用定义证明或判断函数的单调性，要注意步骤清晰，讨论严密．例5．10的最小值试求上的单调性在区间讨论131)2(),0(1)()1(xxyxxxf解（1）i）设x1，x2∈（0，1]，且x1x2，)11)(()11()()1()1()()(21212121221121xxxxxxxxxxxxxfxf则∵x1-x20,0x1x21∴f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2)上是减函数在]1,0(1)(xxxfii）设x1，x2∈[1,+∞)，且x1x21,0)11)(()()(2121212121xxxxxxxxxfxf则上是增函数在),1[1)()()(0)11)((01121212121xxx