函数的单调性

1.3.1函数的单调性观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？实例引入①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x)=x;①从左至右图象上升还是下降?_______②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．实例引入上升(-∞，+∞)增大画出下列函数的图象，观察其变化规律：（2）f(x)=x2．①在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．实例引入减小(-∞，0)增大[0，+∞)从上面的观察分析，能得出什么结论？函数的单调性从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性．以二次函数f（x）＝x2为例，列出x，y的对应值表．函数的单调性x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2…16941014916…对比函数f（x）＝x2的图象和列出的x，y的对应值表格，你能发现什么？函数的单调性x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2…16941014916…图象在y轴左侧“下降”，也就是，在区间(－∞，0]上，随着x的增大，相应的f(x)反而减小；函数的单调性x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2…16941014916…图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大；如何利用函数解析式描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小．”“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大．”?2)(xxf函数的单调性对于二次函数，我们可以这样来描述“在区间（0，+∞）上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大．”：2)(xxf在区间（0，+∞）上，任取两个，，得到，，当时,有，这时，就说函数在区间（0，+∞）上是增函数．1x2x211)(xxf222)(xxf1x2x)()(21xfxf2)(xxf函数的单调性你能仿照这样的描述，说明函数在区间(－∞，0]上是减函数吗？2)(xxf对于二次函数，我们可以这样来描述“在区间（－∞，0］上，随着x的增大，相应的f(x)反而减小．”：2)(xxf在区间（－∞，0］上，任取两个，，得到，，当时,有，这时，就说函数在区间（－∞，0］上是减函数．1x2x211)(xxf222)(xxf1x2x)()(21xfxf2)(xxf函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I:函数的单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数（increasingfunction）．21xx)()(21xfxf)(xf21,xx一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数（decreasingfunction）．21xx)()(21xfxf)(xf21,xx函数的单调性如果函数y＝f（x），在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．函数的单调性在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．典型例题例1：下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．-5Oxy12345-1-2-3-4123-1-2解：y＝f（x）的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5].其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上是减函数，在[－2，1），[3，5）上是增函数.)(xfy典型例题例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．Vkp典型例题分析：按题意，只要证明函数在区间（0，+∞）上是减函数即可．Vkp例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．Vkp典型例题证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1V2，则例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．Vkp21122121VVVVkVkVkVpVp由V1,V2∈（0，+∞）得V1V20；由V1V2,得V2－V10．021VpVp又k0，于是21VpVp即所以，函数是减函数．也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．,0,VVkp取值作差定号下结论证明函数单调性步骤证明函数单调性的一般步骤：⑴取值：设x1，x2是给定区间内的两个任意值，且x1x2(或x1x2）；⑵作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）；⑶定号：判断f(x1)－f(x2)的正负（要注意说理的充分性）,必要时要讨论；⑷下结论：根据定义得出其单调性.画出反比例函数的图象．（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．xy1反比例函数的单调性1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．生产效率工人数量O反比例函数的单调性2.根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数．y12345xy=（x）-1O反比例函数的单调性本节课主要学习了以下内容：知识小结2．根据定义证明函数的单调性的主要步骤．1．函数的单调性及单调区间的概念；中教育星软件技术有限公司2006年1月制作函数的单调性