第61课 直线与圆、圆与圆的位置关系

考纲要求1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．1．直线与圆的位置关系⑴几何法若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则①相交；②相切；③相离．⑵代数法由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则①相交；②相切；③相离．解决直线与圆的问题时，首选几何法．知识梳理drd=rdr△0△=0△02．圆与圆的位置关系的判断：若两圆的半径分别是1r、2r，圆心距是d，则如图①相离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．12rr12rrd内切外切相离相交内含d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＜|r1－r2|d=|r1－r2|3．直线与圆相交半径、弦心距、半弦长构成一个直角三角形．若圆心到弦的距离为d，圆的半径是r，弦长是l，则l．rdDCBA222rd1．（2013广东高考）垂直于直线1yx且与圆221xy相切于第一象限的直线方程是()A．20xyB．10xyC．10xyD．20xy基础自测【答案】A【解析】设所求的直线为0xyc，∵圆心到直线0xyc的距离12dc，∴2c（舍去），或2c．2．(2013广州一模）直线3490xy与圆22(1)1xy的位置关系是（）A．相离B．相切C．直线与圆相交且过圆心D．直线与圆相交但不过圆心【答案】A【解析】∵圆心(1,0)到直线3490xy的距离为31409655d，∴dr，故直线与圆相离．3．（2013重庆高考）设P是圆22(3)(1)4xy上的动点,Q是直线3x上的动点,则PQ的最小值为（）A．6B．4C．3D．2【答案】B【解析】∵圆心到直线的距离为3(3)6d，∴PQ的最小值为4dr．4．（2013广州二模）若直线(1)ykx与圆22(1)1xy相交于A、B两点，则AB的值为（）A．2B．1C．12D．与k有关的数值【答案】A【解析】∵圆心(1,0)到直线0kxyk的距离为2(1)001kkdk，∴22ABr．【例1】求过点(2,3)P向圆C：22(1)1xy所引的切线方程．典例剖析考点1直线和圆的位置关系【解析】∵22(21)31，∴点(2,3)P在圆C外，切线有两条．设过点(2,3)P的切线方程为3(2)ykx，即320kxyk．∴2103211kkk，得43k，∴切线方程为4310xy．∵当过点(2,3)P的直线的斜率不存在时，方程为2x，圆心(1,0)到直线2x的距离等于1，∴该直线与圆相切，∴所求的切线方程是4310xy，或2x．【变式】（2013陕西高考）已知点(,)Mab在圆O：221xy外,则直线1axby与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【答案】B【解析】∵(,)Mab在圆O外，∴221ab，∵圆心O到直线1axby的距离为2211dab，∴直线1axby与圆O相交．【例2】已知两圆1C：222220xyxy和2C：22460xyxym．（1）当m取何值时两圆外切？（2）当6m时，求两圆的公共弦所在的直线方程和公共弦的长．考点2圆和圆的位置关系【解析】（1）∵1C：22(1)(1)4xy，2C：22(2)(3)13xym，∴1(1,1)C，2(2,3)C，125CC．12r，213rm．∵两圆外切，1212CrrC，∴133m，解得4m．（2）222222204660xyxyxyxy，得3420xy．∴公共弦所在的直线方程为3420xy．∵1C到直线3420xy的距离为314(1)215d，∴公共弦的长为221223rd．【变式】圆22(2)4xy与圆22(2)(1)9xy的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】两圆的圆心分别为)0,2(，)1,2(，半径分别为2r，3R，圆心距为17)10()22(22，则rRrR17，∴两圆相交．【例3】已知圆C：2268210xyxy和直线l：430kxyk．（1）证明：不论k取何值，直线l和圆C总相交；（2）当k取何值时，圆C被直线l截得的弦长最短？并求最短的弦的长度．考点3直线和圆的综合问题【解析】（1）圆C的方程可化为：22(3)(4)4xy，圆心为(3,4)C，半径2r．直线l的方程可化为：(4)3ykx，∴直线过定点(4,3)P．∵定点(4,3)P到圆心(3,4)C的距离22(43)(34)2dr，∴定点(4,3)P在圆C内部，∴不论k取何值，直线l和圆C总相交．（2）当直线l与PC垂直时，圆被直线截得的弦最短．∵过,PC两点的直线的斜率1PCk，故直线l的斜率1k，最短弦长22222rd【变式】（2013广州调研）圆2224150xyxy上到直线20xy的距离为5的点的个数是．【答案】4【解析】圆方程为22(1)(2)20xy，其圆心坐标(1,2)，半径25r，由点到直线的距离公式得圆心到直线20xy的距离22|12(2)|3551(2)d，由图所示，圆上到直线20xy的距离为5的点有4个．5x2y=0yOxC(1,2)1．要善于运用等价转化的思想：⑴切线长的最值问题：通常转化为圆外的点到圆心的最值问题，⑵圆上的点到直线的距离问题：通常转化为圆心到直线的距离问题．2.求过一点作圆的切线问题时，首先判断点和圆的位置关系：⑴点在圆外时有2条切线；⑵点在圆上时有1条切线；⑶点在圆内时没有切线．3.两圆的公切线条数问题通常转化为判断两圆的位置关系：⑴两圆相离有4条公切线；⑵两圆外切有3条公切线；⑶两圆相交有2条公切线；⑷两圆内切有1条公切线；⑸两圆内含没有公切线．归纳反思