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2 微积分的直接基础——极限 2.1 数列极限 芝诺悖论 Aristotle, Physics. 亚里士多德对无穷, 不可分, 连续和不连续概念的大量讨论的一个原因是他想反驳芝诺 (Zeno) 的悖论, 芝诺提出这些悖论可能是想要说明当时运动的概念不是十分清晰, 同时也是为了说明任何对空间和时间的分割方法都会导致问题. 芝诺的第一个悖论, 二分法, “断言运动不存在, 因为运动着的物体要达到终点, 首先必须经过路途的一半” (当然它必须先走完这一半的一半, 依此类推), 这里最基本的争论是物体不可能在无限多个时间段内走完有限的路途; 第二个悖论是阿基里斯, 它断言: “比赛中, 跑得最快的阿基里斯永远赶不上慢慢爬行的乌龟, 因为要追上龟, 他必须先到达乌龟的出发点, 因此乌龟总是在阿基里斯的前面”. 亚里士多德在驳斥这些悖论时承认, 时间就像距离一样, 是无限可分的, 但他并不被物体可以在有限的时间内走过无限多段距离所困扰, 因为 “如果在有限的时间内一个事物不能与数量上无限的事物相联系, 那么它总可与无限可分的事物相联系, 在这种意义上, 时间本身也是无限的”. 事实上, 在这两个悖论中一旦给定了运动, 我们就可以计算出运动的物体何时到达终点, 阿基里斯何时超过乌龟. 芝诺的第三和第四个悖论是要说明, 当我们说由不可分的元素构成一个连续的量时, 将有什么情况发生. 飞箭不动悖论说明了 “如果处于一定空间的任一物体是静止的, 那么运动着的物体在任意时刻总是处于一定的空间, 因此飞箭是静止的.” 也就是说, 如果有不可分的时刻, 飞箭在这些时刻静止不动. 另外, 既然时间只是由时刻组成, 那么飞箭就将总是处在静止状态. 亚里士多德对这一悖论的反驳是, 不仅不存在不可分的时刻, 而且运动本身也只能在一个时间段内被定义. 而现代对这一悖论是这样反驳的, 因为运动是通过极限的观点来定义的, 所以可以否定第一个前提. 运动场悖论是说, 假设有三个同样物体的集合, A静止不动, B经过A向右移动, C以同样的速度向左移动, 假设B移动到了A右面的某个位置, C移动到了A左面的某个位置, 且最初在4A下方的1B移到了5A下方, 而最初在5A下方的1C移到了4A的下方 (图2.13). 芝诺假设物体是空间不可分的单元, 它们在不可分的时间单元内移动到了其新位置, 但是, 既然在某一时刻1B一定在1C的正上方, 那么有两种可能出现, 要么两个物体没相遇, 则物体根本没有运动, 要么在不可分的时刻, 每个物体各处于两个不同的位置, 因此时刻事实上是可分的. 亚里士多德相信, 他已经驳倒了这个悖论, 因为他已经否定了最初的假定, 即时间是由不可分的时刻组成. 图2.13 芝诺运动场悖论 这些悖论的论战贯穿了整个历史, 而芝诺悖论的思想及亚里士多德的反驳引起诸多学者深思, 甚至现代数学家们在处理无穷或无穷小的概念时也必须对其假定认真斟酌. 在希腊时期, 悖论及对悖论的反驳是促B6B5B4B3B2B1A1A2A3A4A5A6C1C2C3C4C5使对连续量与离散数作出区分的一个重要因素, 这对于亚里士多德乃至欧几里得来说是多么的重要. 以正整数为自变量的函数 , 当 依次取1, 2, 3, … 所得到的一列函数值 ()=11af, ()=22af, ()=33af, …, ()=nafn, … 称为无穷数列, 简称数列. 数列中的各个数称为数列的项. ()=nafn称为数列的通项. 数列常记为 . 定义1 如果 无限增大时, 数列 的通项无限趋近于常数 , 则称该数列以 为极限, 记作 ¥=limnnaa 或 () 此时也称该数列收敛到 . 如果 时, 不以任何常数为极限, 则称数列 发散. 数列的例子. 1, 12, 13, 14, …, 1n, … -1, 12, -13, 14, …, ()-1nn, … 1, 1, 1, 1, … -1, 1, -1, 1, …, ()-1n, … 2, 4, 6, 8, …, 2n, … , , , , …, , … 1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, … 常数列 常数列的极限仍是该常数. ¥=+¥lim2nn ()¥-=-¥lim2nn 定义2 如果对于任意正数ε, 总存在相应的正整数N, 使得满足nN的一切 , 能使不等式e-naa恒成立, 则称数列 以 为极限, 记作 ¥=limnnaa 或 () 2.2 函数极限 2.2.1 自变量无限趋近于有限数的情形 () 且 且 =00limxxxx −1O112xyyfx=()−1O112xyygx=()=0limxxCC ()+1lim23xx =5 --=+=2555lim251lim5110xxxxx 01limsinxx, 01limcosxx 不存在, 不存在 -31lim3xx =¥ 定义1 设函数 在点0x的近旁有定义. 如果对于任意正数ε, 总存在相应的的正数δ, 使得满足d-00xx的一切 能使()e-fxA恒成立, 则称函数 当 时以A为极限, 或称函数 在点0x有极限, 记作 ()=0limxxfxA 或 ()fxA () 2.2.2 左极限和右极限 符号函数 左极限, 右极限 定理1 函数 当 时存在极限的充分必要条件是左极限和右极限存在且相等. xy1−1Oyx=sgn2.2.3 自变量的绝对值无限增大的情形 1xy1yx=1→ +¥limsinxxx 不存在 2.2.4 函数极限的性质 定理2 如果 时函数 的极限是正 (负) 数, 则在点 的某一去心邻域内, 函数值 也是正 (负) 数. 即若()=0lim0xxfxA (0), 则存在点 的某邻域()o0Ux, 对一切()Îo0xUx恒有()0fx (0). 局部保号性定理. 定理3 非负函数的极限非负. 即如果()³0fx, 且()=0limxxfxA, 那么³0A. 推论 若()()£fxgx, 且当 时, ()fxA, ()gxB, 则()()£00limlimxxxxfxgx, 即£AB. 2.2.5 无穷大量与无穷小量 如果在某个变化过程中, 函数 的绝对值()fx变得越来越大, 则称该函数的极限是无穷大, 记作()¥fx ( 或 ). 这样的函数 (即变量) 称为无穷大量, 简称无穷大. 当 时, 函数1x是无穷大量. 当 时, 函数2x是无穷大量. 当 时, 函数lnx是无穷大量. 当 时, 数列 和-2n都是无穷大量. 以零为极限的变量叫做无穷小量. 简称无穷小. 当 时, 函数3x, sinx, tanx都是无穷小. 当 时, 函数21x, æö÷ç÷ç÷èø12x, p-arctan2x都是无穷小. 当 时, 数列{}1n, {}12n, {}+21nn都是无穷小. 定理1 函数 在某个极限过程中以常数A为极限的充分必要条件是, 函数 能表示为常量A与无穷小量α之和的形式, 即 ()a=+fxA. 定理2 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量. 定理3 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量. 推论1 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量. 推论2 常量与无穷小量的乘积是无穷小量. 定理4 无穷小量 (0除外) 的倒数是无穷大量 (类似地有, 无穷大量的倒数是无穷小量). 例 求 →→ →→ 解 0, 0, 0, 0 定义 设α与β都是无穷小, 且 . 1. 若ab=lim0, 称α是较β高阶的无穷小, 记作()ab=o. 2. 若ab=¹lim0b, 称α与β是同阶无穷小. 特别是, 若ab=lim1, 称α与β是等价无穷小, 记作ab. 3. 若ab=¥lim,称α是较β低阶的无穷小. 00型不定式, ¥¥型不定式 2.2.6 极限的四则运算 定理1 有限个变量代数和的极限等于极限的代数和. 定理2 有限个变量之积的极限等于极限之积. 推论1 常数可以提到极限符号外. 推论2 正整指数幂的极限等于极限的幂. 定理3 当分母的极限不等于0时, 两个变量之商的极限等于极限之商. 2.2.7 两个重要的极限公式 公式 =0sinlim1xxx OABCx例 0sin3limxxx æö÷ç=÷ç÷èø0sin3lim33xxx =3 +0sinlimxxx +=0sinlimxxxx ++=00sinlimlimxxxxx =´=100 公式 ¥æö÷ç+=÷ç÷èø1lim1xxex, ()+=10lim1xxxe 例 ¥æö÷ç+÷ç÷èø5lim1nnn ()()¥æö÷ç=+÷ç÷çèø551lim15nnn ()¥ìüïïæöïï÷ç=+íý÷ç÷çèøïïïïîþ551lim15nnn =5e ¥æö÷ç+÷ç÷èø81lim14nnn ´¥æö÷ç=+÷ç÷èø421lim14nnn ¥ìüïïæöïï÷ç=+íý÷ç÷èøïïïïîþ241lim14nnn =2e ¥æö÷ç-÷ç÷èø1lim1xxx ()()--¥æö÷ç=-÷ç÷èø11lim1xxx ()--¥ìüïïæöïï÷ç=-íý÷ç÷èøïïïïîþ11lim1xxx -=1e , , 例 ()()-+-+-21321lim32xxxxx ()()()---+-=+-1121lim3lim21lim32xxxxxxx ()()⋅-==-23342 例 求 → 解 → → → 当 , , 和 为非负整数时, 有 → ¥-+-527324lim310nnnnn =0 ¥-++-4243231lim63xxxxxx ==2163 ¥+-234lim31nnnn ¥+=-34lim31nnn =¥ → → ¥+⋅+⋅1210lim5310nnn ¥+=+1102lim5103nnn =23 +-042limhhh +-++=⋅++04242lim42hhhhh ()+-=++044lim42hhhh =++01lim42hh ==+11224 ()¥+-lim1nnn ()¥++=+-++1lim11nnnnnnn ¥=++1lim1nnn =0 ()¥ìü+ïïïï-íý+ïï+ïïîþ322lim11nnnnnn ()()¥ìüïï++ïï=íýïï++ïïîþ3222lim11nnnnnn =1 -201coslimxxx =2202sin2limxxx æö÷ç÷ç÷ç=÷ç÷ç÷ç÷÷çèø20sin12lim22xxx =12 -01coslimxxx =202sin2limxxx æö÷ç÷æöç÷ç÷ç=÷ç÷ç÷÷èøç÷ç÷÷çèø0sin2limsin22xxxx æö÷ç÷æöç÷ç÷ç=÷ç÷ç÷÷èøç÷ç÷÷çèø00sin2limlimsin22xxxxx =0 -+06sin2lim23sin4xxxxx -=+0sin26lim3sin42xxxxx -==+´6222347 例 → → → 例 → → → 例 → → → 例 求 → 解 → → 例 求 → 解 令 . → 例 证明: (1) 当+¥x时, +-1xx与1x是同阶无穷小. (2) ()--11nxnx (1x). 证明 (1) +¥+-1lim1xxxx ()()+¥+-++=++11lim1xxxxxxxx +¥=++lim1xxxx +¥=++1lim111xx =¹102, 即当+¥x时, +-1xx与1x是同阶无穷小. (2) ()--11lim1nxxnx ()()()---+++=-121