71第一章-矢量和张量

1矢量与张量为什么学习张量1.物理量：标量矢量张量2.客观性：客观规律与坐标系（观察者）无关第一章：矢量矢量：1.方向性2.合成结果与顺序无关不符合这两点要求的不是矢量。转动具有大小和方向但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。基本运算：1.点积abcosaba与b在a上的投影之积。分配律：abcabac证明：bc的投影等于b的投影与c的投影之和推论：①abcdacadbcbd②111223311bbbbbeeeee③333iijjiii1i1i1abababee2.叉积absinabnb+cacb2有方向的平行四边形面积3混合积()uvw六面体体积改变六面体底、高顺序可证：()()()uvwvwuwuv推论：①叉积分配律：abcabac证明：vabcbcvabvacvavabac上式对任何矢量v都成立，所以abcabac②abcdacadbcbd③112233112233aaabbbabeeeeee123231312123123231312123aaaaaaaaabbbbbbbbbeeeeee④abc231312123231312aaaaaacccbbbbbb123123123cccaaabbb⑤21232123123uuuvvvuvwwuv3T123123123123123123uuuuuuvvvvvvuuuvuwvuvvvwwuwvww线性相关：一组矢量i(i=1,2,k)a中至少有一个矢量可以用其余的矢量线性组合表示：jiiijaa线性无关：kiii1a0等效于i0(i=1,2,k)三维空间中三个线性无关的矢量,,abc,如果其线性组合111111112223222223323323abc0abc0a+b+c=0abc0abc0abc0则i0，说明系数矩阵满秩。对任何非零矢量d111112222233233abcdabcdabcd一定可以求得非零的系数i，说明矢量d为矢量,,abc的线性组合。即：三维空间中，任何一个矢量都可以表示为三个线性无关矢量的线性组合。3.()()()abcacbbca证明：a为,ab组成的面内垂直于a的单位向量，它与ab垂直；b为,ab组成的面内垂直于b的单位向量；它与ab垂直；因此：4()(absin)/a(bsin)()(absin)/b(asin)aabaababbb令()cabab则()bcbabbbabba()acaaabaabab从而bcos(/2)bsinacos(/2)asinbcbcbcabacacacba()()()()()bsinasin()()abcaabbababababacbbca斜角直线坐标系1.力的分解1212PPPgg11121122122212PPPPPvgvgvPvgvgv如果1121;1vgvg则11PPv如果2212;1vgvg则22PPv12,vv具有重要意义:如果12,gg为相互垂直的单位向量,则P在12,gg上的分量:1212P=;P=PgPg但在一般情况下,1122P=;P=PvPv2.斜角直线坐标系：不要求基底矢量单位正交,只要求基底矢量在空间中为常矢量ababab2gP1g5矢径123123xxxrgggiixrg协变基矢量ig（自然基矢量）iijjgg逆变基矢量ig逆变基矢量组是线性无关的：如果123ggg0则有：12310gggg12320gggg12330gggg两种坐标基矢量的作用矢量33iiiii1i1vvvgg其中33jjijijiij1j1vvv;vggg协变分量33ijijiijjj1j1vvv;vggg逆变分量①上下指标的不同意义：协变逆变②哑指标及其求和约定33ijiji1j1vvvgg协变指标（下标），逆变指标（上标），哑指标（上下指标相同）3iiiii13jjjjj1vvvvvgggg（哑指标求和约定）举例：矩阵乘法ABC的分量表示：iikikjkjkjkcababX1X2X31g2g3gr6③自由指标（表达式中各项出现且只出现一次，同为上或为下指标）取值范围内全部成立可同时换为其它字母而不影响意义（说明逆变基矢量定义表达式的指标记法）逆变基矢量的求解1.根据定义123ggg11231().1ggggg123232312313131231212123()g()g()ggggggggggggggggggggggggg其中231g()ggg2.根据iijjgggjiijgggijijijijg;ggggg由于jjkjkjiiikikggggggg因此1ijijgg已知协变基底，可求出以ijg为元素的矩阵ijg，其逆矩阵为ijg，由iijjggg可求得逆变基。（可用于求解高于3维的坐标系的逆变基矢量）1237ijg和ijg的作用①1112132ij212223123313233gdet(g)()ggggggggggggggggggggg231()gggg②升降指标iijiijjjjjiijiijpppgpppgPgggPgggijiijiijiiijiijijijijiiijijiijijuvuvvuvuuvguuuvuvuvguvuvgggggggg（单位直角坐标系下iigg）曲线坐标系1.曲线坐标：确定空间中一点所用的参数①矢径112321233123123x(,,)x(,,)x(,,)reee其中123,,eee为笛卡尔坐标系基矢量（单位正交）ix为直角坐标,i称为曲线指标作用：从空间点到矢量的变换②典型的曲线坐标系柱坐标系：xrcos;yrsin;zzxyzxθryz8球坐标系：xrsincos;yrsinsin;zrcos③曲线坐标的必要条件:ikxdet0来源：111123112222212333333123xxxdxdxxxdxddxdxxx给定idx必须唯一地求出id（点到曲线坐标的一一对应）④坐标线(只连续改变一个曲线坐标所对应的点形成的轨迹，通常是一条曲线)⑤协变基矢量：坐标线沿增加方向的切矢量）定义：123ki123kiiiiixxxxrgeeee极坐标系下：12rcosrsinreer坐标线θ坐标线r0θ0r坐标线θ坐标线r0θ0rgg9所以r12r12cossin;1rsinrcos;rgeeggeeg可见：曲线坐标系协变基矢量与位置有关（是曲线坐标的函数），模也不一定是1。在曲线坐标系中123123rggg但ii123i123iddddddrrgggg（曲线坐标的局部性）⑥逆变基矢量由于：iijkjkikimkmkjkjxxxxxeeeg所以iikkxge111112312322221231233333123123xxxxxxxxxgeeegeeegeee2.坐标转换两个（新旧）坐标系的基矢量'i'(i1,2,3)g以及ii1,2,3g之间的转换关系可表示为：10ji'i'ji'i'jjgggg则ji'称为协变转换系数（新坐标系指标是协变指标）；i'j称为逆变转换系数（新坐标系指标是逆变指标）；性质：j'j'j'kmj'mi'i'ki'mmi'gggg（两种转换系数组成的矩阵互逆）推论：j'j'j'kiijiiikiiij'iiikikjjkj'j'kkj'j'j'k()()gggggggggggg转换系数和曲线坐标间的关系由于jji'ji'ji'i'rrgg对比ji'i'jgg可知jji'i'j'j'ij'ij'iirrgg对比j'iijgg可知j'j'ii2.矢量分量的转换不同坐标系下分量转换：i'iii'iii'i'ii'ii'i'ii'ivvvvvvvgvgggggi'i'iiii'i'ivvvv协变与逆变指标的转换iikikikkkkiikikivvvgvvvgvgggvgggikikkikivvgvvg分量等式满足指标规则：哑指标必须是一对上下指标，自由指标必须在同一水平线上11张量的基本概念1.分量定义：外法线为n的截面上的面力：iijjfn当坐标系变换时i'i'j'j'fn然而i'i'ij'ijjj'ff;nn所以i'j'i'iji'ijj'ii'i'iijjj'i'jnfnfn此式要求对任意的截面都成立，因而i'j'i'j'ijij特点：每个指标都按照矢量分量变化规律变化。这样的一组相互之间有联系的量称作张量：不同坐标系下分量变化：i'j'i'j'klij..k'l'ijk'l'..klTT参照i'i'iiii'i'ivv;vv指标顺序不可更换，同一次序只能有一个指标，用.标识空位置）协变逆变分量间的转换：mmnmnsmnszijklim.jklimjn..klimjnks...limjnkslzTgTggTgggTggggT参照ikikkikivvg;vvg可用任何一种分量的坐标变换关系判断是否为张量12指标个数称为张量的阶：矢量为一阶张量；ijT为二阶张量；ij..klT为四阶张量只有一个分量，并在任何坐标系下皆为常量的量为零阶张量（标量）度量张量：i'j'i'j'i'ij'ji'j'ijijijggggggijiji'j'i'j'i'ij'ji'j'ijgggggg名称来源：2ijijijijijijdsddddddgddrrrrgg2.整体表示对于矢量，由ii'ii'ii'ii'vvvvggg可自然导出：i'i'iivv