高考数学总复习：集合与常用逻辑用语【易失分点清零(一)】

易失分点清零（一）集合与常用逻辑用语易失分点1集合中元素的特征认识不明A．{x|1x3}B．{x|0x3}C．{x|2x3}D．{x|2x≤3}【示例1】►已知集合M＝{x|y＝－x2＋3x}，N＝{x||x|2}，则M∩N＝()．解析集合M是函数y＝－x2＋3x的定义域，即x满足－x2＋3x≥0，解得0≤x≤3，即M＝[0,3]；集合N是不等式|x|2的解集，即N＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以M∩N＝(2,3]．故选D.答案D警示可能把集合M看成函数的值域，出现求解错误.只要不出现这个问题，根据集合的含义，把集合M，N具体求出来，再根据集合的运算法则进行计算即可.【示例2】►设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．易失分点2遗忘空集解∵A＝{0，－4}，∴B⊆A分以下三种情况：(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得Δ＝4a＋12－4a2－10，－2a＋1＝－4，a2－1＝0，解得a＝1；(2)当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；(3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，解得a－1.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．警示集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B⊆A可知，集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B＝∅的情况，导致漏解．解(1)若a＋2＝1，即a＝－1，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1－3＋3＝1，元素重复；(2)若(a＋1)2＝1，即a＝－2或a＝0，当a＝－2时，a＋2＝0，a2＋3a＋3＝4－6＋3＝1，元素重复；当a＝0时，a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，满足题意；(3)若a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1或a＝－2，由(1)(2)，可知均不符合题意．所以实数a的取值集合为{0}．易失分点3忽视集合中元素的互异性【示例3】►已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的取值集合．警示由1∈A可知，集合A中的三个元素都可能等于1，得到a的值后，若忽视对集合中元素的互异性检验会导致错解.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析p：a∈R，|a|1⇔－1a1⇒a－20，可知满足q的方程有两根，且两根异号，条件充分；条件不必要，如a＝1时，方程的一个根大于零，另一个根小于零．也可以把命题q中所有满足条件的a值求出来，再进行分析判断，实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于0，对于本题就是a－20，即a2.故选A.易失分点4充分必要条件颠倒致误【示例4】►若p：a∈R，|a|1，q：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p是q的()．警示解答本题易出现的错误是颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件而致误.答案AA．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋10D．对任意的x∈R，x3－x2＋10解析题目中命题的意思是“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0都成立”，要否定它，只要能找到至少一个x，使得x3－x2＋10即可，故命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋10”．故选C.答案C易失分点5对含有量词的命题的否定不当【示例5】►命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()．警示本题是对全称命题的否定，因此否定时既要对全称量词“任意”否定，又要对“≤”进行否定，全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”，“≤”的否定为“”，可能出现的错误是“顾此失彼”，忽略了细节.