高考数学数列复习(全)

高考数学总复习（第二轮）第2讲数列一、基本知识归纳1、一般数列[数列的通项公式][数列的前n项和])2()1(111nSSnSaannnnnaaaaS++++321…2、等差数列[等差数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]1定义法：对于数列{an}，若，则数列是等差数列2等差中项：对于数列{an}，若则数列是等差数列daann+1212+++nnnaaa[等差数列的通项公式]如果等差数列的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为[说明]该公式整理后an是关于n的一次函数。dnaan)1(1+[等差数列的前n项和]1．2.[说明]对于公式2整理后an是关于n的没有常数项的二次函数2)(1nnaanS+dnnnaSn2)1(1+[等差中项]如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：2A=a+b或[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项2baA+[等差数列的性质]1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有nanmamnmddmnaamn)(+2.对于等差数列，若，则naqpmn++qpmnaaaa++3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列nanS*NkkSkkSS2kkSS234．若等差数列{an}的前2n-1项的和为，等差数列的前2n-1项的和为，则12nSnb'12nS'1212nnnnSSba5．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，则有如下性质：na奇S偶SnS1.前n项的和偶奇SSSn+2.当n为偶数时，，其中d为公差d2nS奇偶S3.当n为奇数时，则，，，，（其中是中间一项)中偶奇aSS中奇a21nS+中偶a21nS11SS+nn偶奇中a3、等比数列[等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公差通常用字母q表示(q≠0)。[等比数列的判定方法]1．定义法：对于数列{an}，若，则数列{an}是等比数列。2．等比中项：对于数列{an}，若，则数列{an}是等比数列)0(1+qqaann212++nnnaaa[等比中项]如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。也就是，如果G是a,b的等比中项，那么，即。GbaGabG2[等比数列的通项公式]如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为11nnqaa[等比数列的前n项和]①②③当时)1(1)1(1qqqaSnn)1(11qqqaaSnn1q1naSn[等比数列的性质]1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第m项，是等比数列的第n项，且，公比为q，则有2.对于等比数列，若，则namanmmnmnqaavumn++vumnaaaa3．若数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，那么，，成等比数列kSkkSS2kkSS23二、基本方法总结1.求数列通项的基本方法(1)求等差，等比数列的通项)2(,)1(,11nSSnaaSnnnn(2)求一般数列的通项(3)求递推数列的通项1。通过适当化归，转换成等比数列或等差数列11320nnnaaa++112()nnnnaaaa+→11211,10,314nnnnaaaaaa+1113nnaa→2。通过选择适当的形式，引入待定的参数，再确定参数的值)(1nncbc1nncbcm+→345。由题设条件求出数列的前几项，然后归纳出一般表达式，形成猜想，然后用数学归纳法加以证明，得出正确的结论已知数列中=，(1)计算（2）猜想通项公式，并且数学归纳法证明1a35121nnnaaa++34,aa2、数列求和的基本方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、dnnnaaanSnn2)1(2)(11++)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn)1(211+nnkSnkn)12)(1(6112++nnnkSnkn二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{bn·cn}的前n项和，其中{bn}、{cn}分别是等差数列和等比数列所以有nnnnncbcbcbcbS++++112211122111nnnnnnnqSbcbcbcbc+++++13211)()1(++++nnnncbdccccbSq三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa+nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210++++++89sin88sin3sin2sin1sin22222+++++四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可求数列的前n项和：231,,71,41,1112++++naaan求数列{(n+1)(2n+1)}的前n项和五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的nnnnan+++111111)1(1++nnnnan])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++++nnnnnnnan)11(1))((1CAnBAnBCCAnBAnan++++六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.数列{an}：，求S2005nnnaaaaaa++12321,2,3,1七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和1111..111111111个n++...++)110(919×999..911111…91kkk个个若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号)①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.其中n为大于1的整数,Sn为{an}的前n项和.（①、④）例1三、基本问题练习定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，这个数列的前21项和的值为_____这个数列的前n项和的计算公式为__a12当n为偶数时，当n为奇数时，Snn52Snn5212例2例3例4已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an+(-1)n,⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；⑵求数列{an}的通项公式；例5已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,……（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式1}{1aan中例6所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)]由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],于是a2k+1=2321.1)1(21231++kk{an}的通项公式（略）(Ⅱ)a2k+1=a2k+3k=a2k-1+(-1)k+3k所以a2k+1-a2k-1=(-1)k+3k同理a2k-1-a2k-3=(-1)k-1+3k-1……a3-a1=3+(-1)四、综合问题选讲在知识网络的交汇点处设计试题是高考命题的特点．数列作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，而且常常与不等式、函数、解析几何、极限等知识综合在一起，成为高考命题的热点21444244444424444242444424124121212121212121212121+++++++++++++++++++xxxxxxxxxxxxxxxxxfxfyy+++++mmfmmfmmfmfmfSm1221由（Ⅰ）可知：恒成立21+mnmfmnf例9