大学数学系毕业论文

山西师范大学现代文理学院本科毕业论文利用导数研究函数性质姓名马江莲院系数学与计算机科学系专业数学与应用数学班级0803班学号0890110320指导教师任辛喜答辩日期成绩论文题目：利用导数研究函数性质内容摘要导数作为研究函数性质极其重要而有力的工具，为我们解决许多函数问题提供了一种更简单易行的方法和途径，极大地丰富了数学思想方法。本文通过结合具体的例子，论述了导数在研究函数性质时的一些应用：比如利用导数处理函数图像的切线问题、利用导数研究函数的单调性、解决极值最值问题、以导数为工具探讨函数零点个数、应用导数证明不等式、进行近似计算。【关键词】导数函数的性质函数的零点不等式近似计算Title:ThestudyoffunctionbyusingderivativeAbstractResearchonthepropertiesoffunctionderivateasextremelyimportantandpowerfultool,forustosolvemanyfunctionprovidesamoresimplemetheodandtheway,greatlyenrichedthemathematicalthoughtandmethed.Inthispaper,throughacombinationofspecificexamples,discusstheresearchonthepropertiesoffunctionderivativeintheapplication:Suchastheuseofthederivativefunctionimagetangentpromblem,usingderivativeofmonotonicityoffunctions,solvingthemostvalueproblemwiththederivativeextremum,asatooltoexaminezeronumberoffunctions,applicationofthederivativetoproveinequality,approximatecalculation.【KeyWords】derivativepropertiesoffunctionzeroofafunctioninequalityapproximatecalculation目录引言........................................................................................................1一、导数的相关概念............................................................................1二、函数基本性质的研究....................................................................2（一）利用导数处理函数图像的切线问题......................................................................2（二）利用导数判断函数的单调性..................................................................................3（三）利用导数求函数的极值、最值..............................................................................5三、函数零点个数的探讨....................................................................7四、不等式的证明................................................................................9五、利用导数解决近似计算问题......................................................10结束语..................................................................................................11参考文献..............................................................................................11致谢......................................................................................................121利用导数研究函数性质学生姓名：马江莲指导老师：任辛喜引言导数是联系初、高等数学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具，它的工具已经渗透到数学的很多分支，这在函数的研究中更是得到了体现。利用导数研究函数的一些性质并解决相关问题，为数学研究提供了新的视野。以下我们先来介绍一些导数的基本概念，再具体的阐述如何利用导数解决函数问题。一、导数的相关概念1.导数的定义：当自变量的增量0xxx，0x时函数的增量0yfxfx与自变量增量x之比的极限存在且有限，即0000limlimxxfxfxyxxx存在且有限，我们就说fx在点0x处可导，称此极限为fx在点0x处的导数（或变化率）。2.导数的另一种形式：0000'limxfxxfxfxx叫做yfx在0xx时的导数，记作0'|xxy，导数还可以表示为：0000'limxxfxfxfxxx。3.导数的几何意义：曲线yfx在点0,0xfx处切线的斜率。注意：①函数在点0x的某领域内要有定义，否则导数不存在。②如果极限000limxfxxfxx不存在，则称函数yfx在点0x处不可导。③导数0000'limxfxxfxfxx表示的是函数yfx在0x点的瞬时变化率，反映的是函数yfx在点0x处变化的快慢程度。④如果函数yfx在开区间,ab内的每一点处都可导，则称函数yfx在开区间,ab内可导，此时对每一,xab个都对应着一个确定的导数'fx，2我们称函数'fx为yfx在区间,ab内的导函数，简称导数。二、函数基本性质的研究（一）利用导数处理函数图像的切线问题导数'fx的几何意义在函数图象上可表示为曲线yfx在某点0,0pxfx处切线的斜率0'fx，在具体应用中，已知曲线yfx和曲线上的点0,0pxy，则可求出曲线在p点处的切线斜率为0''yfx，从而得到切线方程为000'yyfxxx注意：①在求曲线的切线方程时，要特别注意曲线上某点处的切线和过某点的切线是完全不同的：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，就算此点在曲线上，也不一定只有一条。②在求过某点的切线时，必须首先搞清楚此点是否在曲线上，只有该点在曲线上时，切线斜率才是0'fx。③在求两条曲线的公切线时也常常会用到导数的知识。例1⑴已知曲线3yx的一条切线l与直线350xy垂直，求直线l的方程。⑵已知1,1为曲线32yxx上的一点，求过该点的切线方程。解：⑴切线l与直线350xy垂直，则可设直线l的方程为30xym，l的斜率为3k，即曲线3yx在某一点处的导数为3，而2'3yx，所以3yx在1,1点处的导数为3，因此直线l的方程为131yx，即32yx。⑵设切点为0,0pxy，则切线的斜率020'|32xxyx，所以切线方程为00032yyxxx，又切点在曲线上，故320000232yxxxxx由题意知，切线过点1,1，把它代入切线方程得332000012321xxxx，解得01x或012x，故所求切线方程为12321yx或13112842yx即20xy或5410xy小结：我们会发现5410xy是以17,28为切点，且经过点1,1的直线，而不是以1,1为切点的的直线，这说明在求经过曲线上某点的切线时，该点不一定是切点。这类问题一般采用待定切点法求解，即先设切点的坐标，写出切线方程，将已知点代入该方程，求出切点，从而得出切线方程。例2已知抛物线1:C22yxx与22:Cyxa，如果1C和2C有公切线l，求公切线l的方程。解：由21:2Cyxx得'22yx，故曲线1C在点2111,2Pxxx的切线方程是2111222yxxxxx，即21122yxxx（1）由2yxa得'2yx，所以曲线2C在点222,Qxxa的切线方程是22222yxaxxx即2222yxxxa（2）若l是过点P与Q的公切线，则（1）、（2）表示的是同一条直线，122212222xxxxa消去2x，得2112210xxa，结合题意分析知，该方程有且只有一个根，故44210a，所以12a，则1212xx，即,PQ重合，因此得曲线1C和2C有且仅有一条公切线，且l的方程为140xy（二）利用导数判断函数的单调性判断函数fx的单调性时，常常借助'fx的符号来判断。定理设函数yfx在区间,ab内可导，⑴当,xab，'0fx时fx在区间,ab内单调递增；4⑵当,xab，'0fx时fx在区间,ab内单调递减。在具体问题中，求单调区间的方法为：确定函数的定义域求函数的导数'fx求不等式组'0fx定义域D的解集来确定单调递增区间，求不等式组'0fx定义域D的解集来确定单调递减区间。例已知函数321+12fxxax⑴求fx的单调区间；⑵若函数fx的递增是区间1,2，递减区间是4,5，求a的取值范围。解：⑴2'333afxxaxxx，当0a时，3+1fxx，在R上单掉递增；当0a时，fx在,03a上单调递减，在,3a和0,上单调递增；当0a时，fx在0,3a上单调递减，在,0和,3a上单调递增。⑵fx在1,2上递减，故'fx0在1,2上恒成立，且'0fx在4,5上恒成立，即230xax在1,2上恒成立233xaxx在1,2上恒成立在1,2上633x，6a；又23+0xax在4,5上恒成立3ax在4,5上恒成立，又在4,5上15312x，12a综上所述，a的取值范围是126a5（三）利用导数求函数的极值、最值极值的定义：设函数yfx在点0x的某领域内有定义，若在该领域内异于0x的点恒有(Ⅰ).若0fxfx,那么称0fx为函数fx的极大值，0x为极大值点；(Ⅱ).若0fxx,那么称0fx为函数fx的极小值，0x为极小值点。极值分为极大值和极小值。求极值或最值的方法：⑴