2017年全国新课标1卷高考文科数学真题及答案解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={}|2xx，B={}|320xx−，则A．AB=3|2xxB．AB=∅C．AB3|2xx=D．AB=R【答案】A【解析】由320x−，得32x,则3{|}2xxB=.所以3{|}2ABBxx==，选A.2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数【答案】B【解析】数字特征中平均数、中位数、众数反映数据集中程度的，标准差、方差则是刻画数据离散程度的，故选B.3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i)2B．2(1)ii−C．(1+i)2D．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)22iiii+=⋅=−，2(1)(1)1iiii−=−−=−+，2(1)2ii+=，(1)1iii+=−+.故选C.4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【答案】B322BA【解析】不妨设正方形边长为1，则21=()24Sππ=圆，黑色部分的面积为圆的一半.由几何概型公式可知，2124==.18Pππ⋅选B.5．已知F是双曲线C：x2-23y=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为A．13B．12C．23D．32【答案】D【解析】由2224cab=+=得2c=，所以(2,0)F，将2x=代入2213yx−=，得3y=±，所以3PF=，又A的坐标是(1,3)，APF为直角三角形，故APF的面积为133(21)22××−=，选D.6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是【答案】A【解析】根据线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条与已知直线平行的直线.在B选项中，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；在C选项中，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；在D选项中，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ.故选A.7．设x，y满足约束条件33,1,0,xyxyy+≤−≥≥则z=x+y的最大值为A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如图，目标函数zxy=+经过(3,0)C时最大，故max303z=+=，故选D.3=3xy+=1xy−8．.函数sin21cosxyx=−的部分图像大致为【答案】C【解析】由题意知，函数sin21cosxyx=−为奇函数，故排除B；当xπ=时，0y=，排除D；当1x=时，sin201cos2y=−，排除A.故选C.9．已知函数()lnln(2)fxxx=+−，则A．()fx在（0,2）单调递增B．()fx在（0,2）单调递减C．y=()fx的图像关于直线x=1对称D．y=()fx的图像关于点（1,0）对称【答案】C【解析】()()21()=2xfxxx−′−，函数定义域为()02,，因此()fx在()01,递增，在()12,递减，排除A，B选项.又(2)ln(2)ln()fxxxfx−=−+=，所以y=()fx的图像关于直线x=1对称，选C.10．如图是为了求出满足321000nn−的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A1000和n=n+1B．A1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【答案】D【解析】由题意选择321000nn−，则判定框内填1000A≤，又因为选择偶数，所以矩形框内填2nn=+，故选D.11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinsin(sincos)0BACC+−=，a=2，c=2，则C=A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin(sincos)0ACACC++−=得sincoscossinsinsinsincos0ACACACAC++−=，即sin(sincos)2sinsin()04CAACAπ+=+=，所以34Aπ=.由正弦定理sinsinacAC=得223sinsin4Cπ=，即1sin2C=，得6Cπ=，故选B.12．设A、B是椭圆C：2213xym+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A．(0,1][9,)+∞B．(0,3][9,)+∞C．(0,1][4,)+∞D．(0,3][4,)+∞【答案】A【解析】当M位于短轴端点时，∠AMB最大.因此当03m，此时焦点在x轴上，要使C上存在点M满足120AMB∠=，则tan603ab≥=，即33m≥，得01m≤；当3m，此时焦点在y轴上，要使C上存在点M满足120AMB∠=，则tan603ab≥=，即33m≥，得9m≥，故m的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）.若向量a+b与a垂直，则m=______.【答案】7【解析】由题已知可得，(1,3)abm+=−，因为a+b与a垂直，所以()0aba+⋅=，即(1)230m−−+×=.解得7m=.14．曲线21yxx=+在点（1，2）处的切线方程为______________.【答案】1yx=+【解析】设()yfx=，则21()2fxxx′=−，所以(1)211f′=−=.所以在(1,2)处的切线方程为21(1)yx−=⋅−，即1yx=+.15．已知π(0)2a∈，,tanα=2，则πcos()4α−=______.【答案】31010【解析】由题已知可得，255sin,cos55αα==.所以π52252310cos()coscossinsin.444525210ππααα−=+=×+×=16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_____.【答案】36π【解析】如图，取SC的中点O，连接,OAOB.因为,SAACSBBC==,所以,OASCOBSC⊥⊥.因为平面SAC⊥平面SBC,所以OA⊥平面SBC.设,OAR=3111129,3323ASBCSBCVSOARRRR−∆=××=××××==所以3R=.所以球的表面积为2436.Rππ=三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．记Sn为等比数列{}na的前n项和，已知S2=2，S3=-6.（1）求{}na的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列.解（1）设等比数列{}na的公比为q.由已知可得，232318SSaaq−===−，又211+2Saaq==,即{21118+2aqaaq=−=，解得{122aq=−=−.1(2)nnnaqa==−∴.（2）21(2)2(2)11(2)3nnnS−−−==−−−−,则+1+2+1+222(2)1(2)133nnnnSS=−−=−−，，A0BSC+1+2+1+2+1+2222+(2)1+(2)1332=(2)1+(2)132=2(2)+(2)(2)23242(2)2(2)12.33nnnnnnnnnnnSSS=−−−−−−−−−×−−×−−=×−−=−−=∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列.18．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP∠=∠=（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90APD∠=,且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积.解(1)取AD,PA,PD,BC的中点，分别为点O,E,F,G.连结OE,OF,OG,则OG//AB//CD,OE//PD,OF//PA.90,90,.BAPGOFOGOE∠=∴∠=∴⊥同理90,90,.CDPGOEOGOF∠=∴∠=∴⊥.OGPAD∴⊥平面OG//AB,,ABPAD∴⊥平面.PABPAD∴⊥平面平面(2)由(1)知ABPAD⊥平面∵90APB∠=°,PAPDABDC===,取AD中点O，所以.OPABCD⊥底面则2,22OPABADAB==，∴1282323PABCDVABABAB−=×××=，∴AB=2,∴22PBPCBC===,∴PADPABPCDPBCSSSSS=+++例111222222222sin60623.222=××+×××+×××°=+19．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：EFOG抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx===∑，16162221111()(16)0.2121616iiiisxxxx===−=−≈∑∑，1621(8.5)18.439ii=−≈∑，161()(8.5)2.78iixxi=−−=−∑，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16i=⋅⋅⋅．（1）求(,)ixi(1,2,,16)i=⋅⋅⋅的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)xsxs−+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)xsxs−+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)iixy(1,2,,)in=⋅⋅⋅的相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−∑∑∑，0.0080.09≈．解(1)1,2,3,…,16的平均数为8.5，则(,)ixi(1,2,,16)i=⋅⋅⋅的相关系数12211()(8.5)2.780.18,40.21218.439()(8.5)niinniiixxirxxi===−−−==≈−××−−∑∑∑||0.180.25,r∴=即可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.（2）（i）3=9.334,3=10.606xsxs−+，第13个零件尺寸9.22(9.334,10.606)∉,因此需要对当天的生产过程进行检查．（ii）剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为169.22169.979.2210.021515x−×−==，标准差为()162211[(10.02)9.2210.2]0.0080.0915iisx==−−−==∑.20．设A，B为曲线C：y=24x上两点，A与B的横坐标之和为4.（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.解（1）设()()1122,,,AxyBxy，则