2003年考研数学试题详解及评分参考

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第1页2003年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数学（一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）(1))1(102)(coslimxnlxx+®=.【答】应填12e-.【解】)1(102)(coslimxnlxx+®()2lncosln10limxxxe+®=，而2200lncosln(1cos1)limlimln(1)xxxxxx®®+-=+2cos112xx-==-，所以原式=1e(2)曲面22yxz+=与平面042=-+zyx平行的切平面的方程是.【答】应填542=-+zyx.【解】设切点坐标为()0000,,Pxyz=，则曲面在0P处的法向量为00{2,2,1}xy--，应与已知平面的法向量{2,4,1}n=-平行，所以00221241xy--==-，从而001,2xy==.于是220005zxy=+=(3)设)(cos02pp££-=å¥=xnxaxnn，则2a=.【答】应填1.【解】由题设，na是偶函数2x在区间[],pp-上周期为2p的傅里叶系数，取2n=，有22200021cos2[sin22sin2]axxdxxxxxdxppppp==-òò001[cos2cos2]1xxdxpppp=-=ò.(4)从2R的基÷÷øöççèæ-=÷÷øöççèæ=11,0121aa到基÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=21,1121bb的过渡矩阵为.【答】应填÷÷øö-ççèæ-2312.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第2页【解】设过度矩阵为P，则()()1212Paabb=，因而()()11212Paabb-=111110112-æöæö=ç÷ç÷-èøèø11110112æöæö=ç÷ç÷-èøèø=÷÷øö-ççèæ-2312.(5)设二维随机变量),(YX的概率密度为6,01(,)0,xxyfxy£££ì=íî其他，则}1{£+YXP=.【答】应填1/4.【解】1{1}(,)xyPXYfxydxdy+£+£=òò=11206xxdxxdy-=òò()12016124xxdx-=ò.(6)已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布)1,(mN，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40（cm），则m的置信度为0.95的置信区间是.（注：标准正态分布函数值F(1.96)=0.975，F(1.645)=0.95）【答】应填39.51,40.49（）.【解】记X为样本均值，置信度为0.95（即0.05a=）的双侧置信区间为22(,)XzXznnaass-+，由于0.0252zza=，()10.0250.9751.96-==F，数据代入，得置信区间为()11(401.96,401.96)39.51,40.491616-´+´=二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）(1)设函数)(xf在),(+¥-¥内连续，其导函数的图形如图所示，则)(xf有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点【答】应选(C).【解】在y轴左侧，因()fx¢由正变负再变正，故()fx由增变减再变增，从而有一个极大值点和一个极小值点；而在y轴右侧，因()fx¢由负变正，故()fx由减变增，从而有一个极小值点；又在点0x=左右领域，()fx¢由正变负，()fx由增变减，且()fx在点0x=连续，故0x=是()fx的极大值点.因此()fx有两个极小值点和两个极大值点.(2)设{na}，{nb}，{nc}均为非负数，且0lim=¥®nna,1lim=¥®nnb,nnc¥®lim=¥，则必有(A)nnba对任意n成立(B)nncb对任意n成立郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第3页(C)nnnca¥®lim极限不存在(D)nnncb¥®lim极限不存在【答】应选(D).【解】对于选项(A)和(B)，尽管据题设有，limnna®¥limnnb®¥nnc¥®lim，但极限的保号性只是在n充分大时才成立，而不是对任意n成立，故因予排除；对于选项(C)，由于nnnca¥®lim是0×¥型，故其极限可能不存在，也可能存在，故也排除；对于选项(D)，假若limnnnbc®¥存在，则有limlimlimlimnnnnnnnnnnncbcbcbb®¥®¥®¥®¥==存在，与条件矛盾.因此limnnnbc®¥存在，故应选(D).(3)已知函数),(yxf在点)0,0(的某个领域内连续，且1)(),(lim22200=+-®®yxxyyxfyx，则(A)点)0,0(不是),(yxf的极值点(B)点)0,0(是),(yxf的极大值点(C)点)0,0(是),(yxf的极小值点(D)根据所给条件无法判断点)0,0(是否为),(yxf极值点【答】应选(A).【解】因1)(),(lim22200=+-®®yxxyyxfyx，故00lim[(,)]0xyfxyxy®®-=，即(0,0)0f=.又记222(,)1()fxyxyxya-=-+，知00lim0xya®®=，且222(,)(1)()fxyxyxya=+++.由于222(1)()xya++是比xy高阶的无穷小，且222(1)()0xya++，故在点()0,0的足够小邻域内，当0xy时，有(,)0fxy，而当0xy时，有(,)0fxy.因此()0,00f=不是极值.故选(A).(4)向量组I：raaa,.....,,21，可由向量组II：12,,,sbbbL线性表示，则(A)当sr时，向量组II必线性相关(B)当sr时，向量组II必线性相关(C)当sr时，向量组I必线性相关(D)当sr时，向量组I必线性相关【答】应选(D).【解】记I的秩为()rI，II的秩为()rII，则由I可由II线性表示，可知()()rr£III.又()rsII£，于是当rs时，有()()rsrrII³³I，即I线性相关.故选(D).(5)设有齐次线性方程组0=Ax和0=Bx，其中,AB均为nm´矩阵，现有4个命题：郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第4页①若0=Ax的解均是0=Bx的解，则秩()A³秩()B；②若秩()A³秩()B，则0=Ax的解均是0=Bx的解；③若0=Ax与0=Bx同解，则秩()A=秩()B；④若秩()A=秩()B，则0=Ax与0=Bx同解以上命题中正确的是(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④【答】应选(B).【解】若0=Ax的解均是0=Bx的解，则0=Ax的解空间的维数不超过0=Bx的解空间的维数，即ABnrnr-£-，亦即ABrr³，故①正确；同理③也正确.又由两个解空间的维数的大小关系，推不出两个齐次线性方程的解集是否有包含关系，所以②不成立,同理，④也不成立.故选(B).(6)设随机变量~()(1)Xtnn，21YX=，则(A))(~2nYc(B))1(~2-nYc(C)~(,1)YFn(D)~(1,)YFn【答】应选(C).【解】因~()Xtn，故()2~ZXtnnc=，其中~(0,1)ZN，22~()ncc，且Z与2c相互独立，于是22~(1)Zc，从而2221(,1)1nFnXZc=:.故选(C).三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线xyln=的切线，该切线与曲线xyln=及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线ex=旋转一周所得旋转体的体积V.解(1)设切点的横坐标为0x，则曲线xyln=在点)ln,(00xx处的切线方程是)(1ln000xxxxy-+=……1分由该切线过原点知01ln0=-x,从而ex=0,所以该切线的方程式为xey1=.……3分平面图形D的面积ò-=-=10121)(edyeyeAy.……6分(2)切线xey1=与x轴及直线ex=所围成的三角形绕直线ex=旋转所得的圆锥体积为1V=231ep；曲线xyln=与x轴及直线ex=所围成的图形绕直线ex=旋转所得的旋转体体积为2V=ò-102)(dyeeyp.……8分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第5页因此所求旋转体的体积为12221201()(5123)36yVVVeeedyeeppp=-=--=-+ò……10分四、(本题满分12分)将函数xxxf2121arctan)(+-=展开成x的幂级数，并求级数å¥=+-012)1(nnn的和.解:因为2412)(xxf+-=¢……2分=).21,21(,4)1(202-Î--å¥=xxnnnn……4分又,4)0(p=f故)(xf=)0(f+ò¢xdttf0)(……6分=òå¥=--xnnnndtt002]4)1([24p=210(1)4112,(,).42122nnnnxxnp¥+=--Î-+å……8分因为级数å¥=+-012)1(nnn收敛，函数)(xf在21=x处连续，所以)(xf=210(1)4112,(,]42122nnnnxxnp¥+=--Î-+å……10分令21=x，得å¥=+×+--=012]21124)1([24)21(nnnnnfp再由0)21(=f得å¥==-=+-04)21(412)1(nnfnpp……12分五、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(pp££££=yxyxD，L为D的正向边界，试证：(1)òò-=---LLxyxydxyedyxedxyedyxesinsinsinsin；(2)ò³--Lxydxyedyxe2sinsin2p.证法1(1)左边=òò--pppp0sin0sindxedyexy=ò-+pp0sinsin)(dxeexx……3分右边=òò--pppp0sin0sindxedyexy=ò-+pp0sinsin)(dxeexx所以òò-=---LLxyxydxyedyxedxyedyxesinsinsinsin……6分(2)由于,2sinsin³+-xxee……8分故由(1)得ò=--Lxydxyedyxesinsinò-+pp0sinsin)(dxeexx22p³……10分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第6页证法2(1)根据格林公式，得òòò--+=-DxyLxydeedxyedyxes)(sinsinsinsin……2分ò=--Lxydxyedyxesinsinòò+-Dxydees)(sinsin……4分因为D关于xy=对称，所以òòòò+=+--DDzyxydeedeess)()(sinsinsinsin故òò-=---LLxyxydxyedyxedxyedyxesinsinsinsin……6分(2)由(1)知òòò--+=-ldxyxydeedxyedyxes)(sinsinsinsin=òò-+dxxdees)(sinsinòò³dds2……8分=22p……10分六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为))0(,kk,汽锤第一次击打将桩打进地am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数)10(rr.问:(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）解：(1)设第n次击打后，桩被打进地下nx，第n次击打时，汽锤所作的功为(1,2,3,).nWn=L由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以22101221akxkkxdxWx===ò……1分)(2)(22222122122axkxxkkxdxWxx-=-==ò由W2=rW1可得2222raax=-，222)1(arx+=