变质量问题专题

变质量问题专题例1:如图所示,有m千克的水以初速度进入弯管,经t秒后流出时的速度为,且v1=v2=v,在管子转弯处,水对管壁的平均冲力大小是,方向.(管内水受到的重力不考虑)1v2v3003001v2vA解:根据题意,设管壁对水的平均冲力为,它是水对管壁平均冲力的反作用力.根据动量原理F12vmvmtF分量式为：x:Fxt=mvcos300–mvcos300=0y:Fyt=mvsin300–mv(-sin300)=mvxymv/t垂直向下例2:如图,矿砂从传送带A落到另一传送带B,已知v1=4m/s,v2=2m/s.若传送带的运送量qm=2000kg/h,求矿砂作用在传送带B上的力的大小和方向(不计相对传送带静止的矿砂).150v1v2300BA解:研究对象:时间内落到B上的矿砂tm根据质点的动量定理的微分形式,12)(vmvmtmgF)()(1212vvqvvtmFmN21.275cosvv2vvqF0212221m49.0F/75sinvqsin02m0292mvq1mvqF150300由牛顿第三定律,所求力的大小为2.21N,方向偏离竖直方向10向右上.例3有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处,砂子经一垂直的静止漏斗落到皮带上,皮带以恒定的速率v水平的运动。忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响,试问:(1)若每秒有质量为m=dm/dt的砂子落到皮带上,要维持皮带以恒定速率v运动，需要多大的功率?(2)若m=20kg/s,v=1.5m/s水平牵引力有多大?所需功率多大?解:(1)设t时刻落到皮带上的砂子质量为m,速率为v，t+dt时刻,皮带上的砂子质量为m+dm,速率也是v,根据动量定理,皮带作用在砂子上的外力的冲量为:由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F’，即F’=F。由于皮带匀速运动，动力源对皮带的牵引力F”=F’，因而F”=F，F”与v同向，动力源所供给的功率为:0)()(dmmvvdmmFdtvFPdtvdmF/vdmmvdtdm/vvdtdmv/2(2)当dm/dtm20kg/s时，m/s5.1v水平牵引力mvF''30NmvP245W所需功率umvvvvuvvvMpMmMMMm又因为火箭总质量的变化（减少！）是由于喷出了质量为m的气体，所以有：mMMMuMMpvdtdMudtdMFv（略去二阶小量）进而由牛顿定律或动量定理可以得到：更多相关的内容见教材(P60-P61)例4:火箭推进问题。设火箭在t时刻总质量为M，速度为，时刻总质量变为M'，速度为，并且以相对速度向后喷出质量为m的气体。这样，在时间内，系统总动量的改变为：vvvuttt例5:有一条单位长度质量为的均质细绳，开始时盘绕在光滑的水平桌面上。现以恒定加速度a向上提起，当提起高度为y时，求作用在绳端的力。yagyFFdtdydtdyyddtpdvvdtvyaygF2vay22vyagF3问：如果是匀速向上提绳子呢？绳子被提起的部分上任意一点都以加速度a上升例6一柔软链条长为l，单位长度的质量为，链条放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围．由于某种扰动,链条因自身重量开始下落.m1m2Oyy求链条下落速度v与y之间的关系．设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开．解以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统，建立坐标系由质点系动量定理得ptFddexyggmF1ex则)d(dvytyg)d(dvyp又tddvyygm1m2Oyytddvyyg两边同乘以则yydvvvyyyyyygyddddd2tvvvyyyyyyg002dd2132gyv232131vygym1m2Oyy例7:一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把细绳上端放开，绳将落到桌面上。试证明，在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于己落到桌面上的绳重量的三倍。Lxx0证:取如图所示坐标。设在时刻t已有x长的柔绳落至桌面，此时质点系(柔绳)的总动量为mv（其中m=λ(L-x)）根据质点系动量原理的微分形式dtdmvdtdvmdt)mv(dNG(1)2vdtdxvdtdmvgdtdvLgGgx2v2代入(1)式得：xg2g)xL(Lgxg2mgLgN1G3xg3正是已落到桌面上的绳重量，证毕。而xgG1例8如图，在一弯曲管中，稳流着不可压缩的密度为的流体.pa=p1、Sa=A1,pb=p2,Sb=A2．，．求流体的压强p和速率v之间的关系．2vvb1vvayxo2y1y2p1p1v2vab1A2A222111dddxApxApWp解取如图所坐标，在时间内、处流体分别移动、．tdab1dx2dxVxAxAddd2211VppWpd)(d211x11dxx2x22dxxyxo2y1y2p1p1v2vab1A2AVyygyygmWgd)()(dd121221221221d21d21d)(d)(vvVVVyygVpp222221112121vvgypgyp=常量1x11dxx2x22dxxyxo2y1y2p1p1v2vab1A2A若将流管放在水平面上，即21yy221vgyp常量伯努利方程则有221vp常量yxo2y1y2p1p1v2vab1A2A221vp常量2222112121vvpp即21pp21vv若则结论1p2p2v1v