厦门大学2012数学分析

厦门大学2012数学分析考研1.设}{nx为有界正实数列，求....lim21nnnxxxx（见08年第二题）2.设RRxg:)(满足)(,)(lim0ufuxgx在0uu处连续。证明：)())((lim0ufxgfx。（见08年第三题）3.设)(xf在),(非恒为0，存在任意阶导数，并且对任何),(x都有2)1()(1)()(nxfxfnn，...3.2,1n，证明：,)(lim)(xnnCexf其中C为常数。（见08年第四题）4.设函数),(yxzz具有二阶连续偏导数，满足方程,2222xyzyzy求证在变换yxzwxvyxu,,之下，上述房车将变为022uw证明：由上我们可知xywz，关于y求偏导xywwyxwxzuvuy1)10)((122继续对y求其偏导3222)(ywyyxwzuuuyy，将上述结果代入,2222xyzyzy得xxywywyxwyuuuu2)1(2)2(234，所以)0,0(003yxwyxwuuuu。5.函数)(xf和函数)(xg在ax时可导，并且在ax时满足)()(''xgxf，求证：当ax时，不等式)()()()(agxgafxf。证明：由)()(''xgxf可知0)('xg，所以)(xg在ax是单调递增，要证上述不等式，即证)()()()(agxgafxf，即证)()()()())()((agxgafxfagxg01设)()()()()(agafxfxgxF，求导得)()()('''xfxgxF，)()(''xgxf所以)()()('''xgxfxg，0)()(''xfxg，所以)(0)('axxF，又0)(aF，当ax，)()(aFxF，即)()()()(agxgafxf，这就证明了右边的不等式。02设)()()()()(agafxgxfxG，0)()()('''xgxfxG，所以)(xG是单调递增函数0)0()(GxG，即)()())()((afxfagxg，证毕。6.设,...,21aa为正实数列，定义naaasnn...21，naaarnn11211...，其中nnslim与nnrlim均存在，证明这两个极限之积不小于1.证明：)...2,1,0(0niai，运用均值不等式我们可得nnnnaaanaaas......2121，nnnnaaanaaar1...11...2111211(*)1......1111naanaann，因为两极限都存在，所以nnnnnnnrsrslimlimlim，对上述的不等式两边取极限，即1......limlimlimlim11121naanaaarsrsnnnnnnnnnn，问题得证。7.设D是2R中的闭圆盘，f是定义在D上的实函数，证明若0)),((2Ddxdyyxf，则f在D中的连续点上的取值为零。证明：（见08年第5题）8.设}{nna收敛，级数11)(nnnaan收敛，证明1nna也收敛。证明：（见08年第6题）9.证明下列等式.)cos()1()cos(112dukuudxdydzczbyaxV其中，1:222zyxV为单位球，cba,,为常数。证明：（见08年第7题）*