2011级第11章全等三角形期末复习

一.全等三角形：1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3:一般三角形全等的条件：1.SSS；2.SAS；3.ASA；4.AAS.直角三角形全等特有的条件：HL.包括直角三角形不包括其它形状的三角形解题中常用的4种方法边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等角角边(AAS):两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等斜边.直角边(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等方法指引证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边----找第三边(SSS)找夹角（SAS)(2):已知一边一角---已知一边和它的邻角找是否有直角(HL)已知一边和它的对角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AAS)找一角(AAS)已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角---找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS)练习角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用法：∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法：∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE二.角的平分线：1.角平分线的性质：2.角平分线的判定：例1、如图，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，△ABC与△ＤＣＢ全等吗？为什么？ＡＤＢＣ解：在△ＡＢＣ和△ＤＣＢ中ＡＢ＝ＤＣ（已知）ＡＣ＝ＤＢ（已知）ＢＣ＝ＣＢ（公共边）∴△ABC≌△ＤＣＢ（SSS）三.例题精析：变式１、如图4，ＡＢ＝ＤＣ，ＢＦ＝ＣＥ，ＡＥ＝ＤＦ，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由。ＡＦＥＤＣＢ解：△ABF≌△DCE∵ＡＥ＝ＤＦ（已知）∴ＡＥ+ＥＦ＝ＤＦ+ＥＦ∴ＡＦ＝ＤＥ（等式性质）在△ABF和△DCE中ＡＢ＝ＤＣ（已知）ＢＦ＝ＣＥ（已知）ＡＦ＝ＤＥ（已证）∴△ABF≌△DCE（SSS）图4例2、如图，ＡＢ、ＣＤ相交于点Ｏ，Ｏ是ＡＢ的中点，ＡＣ∥ＤＢ，那么ＯＣ与ＯＤ相等吗？说明你的理由。ＡＣＯＤＢ解：∵Ｏ是ＡＢ的中点（已知）∴ＡＯ＝ＢＯ（中点定义）∵ＡＣ∥ＤＢ（已知）∴∠Ａ＝∠Ｂ（两直线平行内错角相等）在△AOC和△ＢＯＤ中∠Ａ＝∠Ｂ（已证）ＡＯ＝ＢＯ（已证）∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ（对顶角相等）∴△AOC≌△ＢＯＤ（ASA）∴ＯＣ＝ＯＤ（全等三角形对应边相等）例3：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：△ABC≌△DEF证明：∵AB∥DE∴∠A=∠D∵AF=DC∴AF+FC=DC+FC∴AC=DF在△ABC和△DEF中AC=DF∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（SAS）例4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=ADEDCAB变式：以上条件不变，将△ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD例5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中AB=AB∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)∴AC=AD例6.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,ABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F例7.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上例8：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BEEDBADC∵AD是△ABC的中线∴BD＝CD又∵DE＝AD∴△ADC≌△EDB∴AC=EB在△ABE中，AEAB+BE＝AB+AC即2ADAB+AC∴)(21ACABAD1、如图：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=。12cABDE四.练习2、如图，ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＤ，∠Ｏ＝５０°，∠Ｄ＝３５°，则∠AEC等于（）ＯＡＤＢＣＥＡ、６０°Ｂ、５０°Ｃ、４５°Ｄ、３０°解：答案选（Ａ）3：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC②DE=DF③BE=CF已知：EG∥AF求证：GFEDCBA高4.如图1：△ABF≌△CDE，∠B=30°，∠BAE=∠DCF=20°.求∠EFC的度数.5、如图2，已知：AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD，并延长相交AC、AB于F、E点．则图形中有（）对全等三角形.A、2B、3C4D、5C图1图2（800）6、如图3，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共有（）A、5对B、4对C、3对D2对7、如图4，已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，DE=DC，延长BE交AC于F，求证：BF是△ABC中边上的高.提示：关键证明△ADC≌△BFCB8、如图5，已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：∠E=∠F.提示：由条件易证△ABC≌△CDA从而得知∠BAC＝∠DCA，即：AB∥CD.9、如图6，已知：∠A＝90°，AB=BD，ED⊥BC于D.求证：AE＝ED提示：找两个全等三角形，需连结BE.图6五、拓展题1.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EFBCAFED2.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。ACEBD要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）3.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果……那么……）（1）；（2）；4321FE（第18题）DCBA4.如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.5.已知：如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。•求证：△ADG为等腰直角三角形。GHFEDCBA6.已知：如图21，AD∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，求证：EB=FC总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”祝同学们学习进步再见