第7章弯曲变形 补充1

弯曲变形补充LLLmmmmmmmmmm分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？EIM1LLLPLPPLPPLP分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？PLP直线PLP直线LLLmmmmmmmm分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？直线mm直线11111122222221212220(0)(2)2:,,1.51.50wxLwcwcxdmmmwLxLwxcwxcxdEIEIEImxL当当时，分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？aaPPPPP分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？PaaPPPPM0例当P至少为多大时，才可能使梁的根部与圆柱表面产生贴合？当P足够大，使梁己经与圆柱面贴合，试根据P决定贴合的长度。至少应使梁根部挠曲线的曲率半径与R相同，才可能产生贴合。PLMREIPL1REIM11LREIP若LREIP在C处REIMC1PREILx)(xLPMCREIPLLRPEICxwEIMwEIFwSEIqwiv3.挠度微分方程EIM1EI：抗弯刚度(bendingstiffness)等截面梁中挠度各阶导数的意义：232)1(wwEIMxyw(x)ox(x)曲率的符号规定与弯矩相同。重要公式)()(xwEIxMw1112w7.2积分法求梁的挠度DCxxxxMEIwdd)(1CxEIMwdDCxxxEIMwddEIMwEI是常数7.2.1弯矩方程积分的一般方法挠曲线微分方程积分一次再积分一次积分常数由约束条件确定当弯矩方程为分段函数时，则应分段积分，分段点存在光滑连接条件在分段点处：ax)()(awaw)()(aa挠度是连续的：挠度是光滑的：aFL简支端处挠度为零。固定端处挠度为零，转角为零。aFLaFLaFLaFLw(a+)w(a–)aFL(a–)(a+)Lqxy例求图示梁的挠度曲线。qLqL2/2x弯矩转角挠度边界条件222121)(qxqLxqLxMCxLxxLEIqx322612121)(DCxqxLxxLEIqxw43222416141)(0(0)0C0(0)w0D2226424)(LLxxEIqxxw适于用积分法求梁的挠度曲线的情况1)单个梁2)等截面梁qEI非等截面梁的挠度曲线方程应分段建立。非单梁的挠度曲线方程应分段建立。qqqEI2EI例悬臂梁未加载时为微弯曲线。今有移动荷载F的作用，若要使F力作用点始终保持在水平线上，求初始曲线方程。微弯梁的挠度仍可按直梁计算。EIFxxw3)(3故有EIFxxy33)(FFFFFFFxy(x)设初始曲线方程为y(x)。F作用而产生的挠度为由题设0)()()(xwxyxww(x)Fxq2qaaa分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？4413425(2)5384242(2)84824qaqawEIEIqaaqawEIEIM2/2qaQFqaPal/qaa分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？q2qaaa分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？q2qaaaq2qaaaqaa分析和讨论如果下面三种梁截面一样，它们的应力情况一样吗？公式是对的，结论是错的。结论是对的，公式是错的。公式是精确的，结论是近似的。结论是精确的，公式是近似的。分析和讨论如何把两者统一起来？EIM1EImxw22对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有结论：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有结论：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有结论：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：mEIEIMR1222RxRy22xRRyw21RxRR4281211RxRxRR分析和讨论mEIR对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有结论：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：EIM1EImxw22428121RxRxRw高阶小量EImx22a/24qaA2EI2aB3qa2EIEIqaEIqaEIqaEIqaA33332442,,,,,EIqaEIqaB33EIqaEIqa2233,求B点转角7.3叠加法计算梁的挠度和转角动脑又动笔求A点挠度aa2qaAEI求A点转角EIqawA34利用已有结果计算：2aB3qa2EIa/24qaA2EIBAFa2a2BAFa2a2Aaa3qa2EIAaa3qa2EIEIqaEIqaEIqaEIqaA86433333,,,动脑又动笔利用已有结果计算(p351)：求A点转角例求图示自由端的挠度。)(1Aww)(tan22AawEIFaaEIFa1622232)(Aa221)(wwBwEIFa4853EIFaaEIF242333w1w21.荷载的分解或重组叠加法的常用手法(2006.11.21星期一)依据：若荷载A在K点引起的（广义）位移为a，荷载B在K点引起的同类位移为b，则荷载（A+B）在K点引起的位移为a+b。依据：若荷载A在K点引起的（广义）位移为a，荷载B在K点引起的同类位移为b，则荷载（A+B）在K点引起的位移为a+b。依据：若荷载A在K点引起的（广义）位移为a，荷载B在K点引起的同类位移为b，则荷载（A+B）在K点引起的位移为a+b。叠加原理在处于稳定状态的线弹性小变形杆件中，内力、变形量、应力、应变关于外荷载均满足叠加原理。KAaKBbKABabEIq0AL2L2例求图示自由端的挠度。w1Lq0EILqw8401EILqEILqw128824040223LwBEILqEILqLEILq962624030q0L2L2w2w3BL2L2AFEIEIaaaEIaFaav)(1EIFav332EIFavvvA34321注意：在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。AFvAAFv1AFv1刚体变形体AFv2AF变形体刚体v2AFvA例求图示A端的竖向位移。分析和讨论竖梁压缩对A端竖向位移的贡献有多大？竖梁压缩量EAFav竖梁弯曲的贡献EIFav31两者之比21AaIvv以圆杆为例22116advv1aa/4qEIAw3例求如图外伸梁A点的竖向位移。w11w22EIqaaEIqa9642443411aw422awEIqaEIqaaaqEIa3844421342aa/4qEIA例求如图外伸梁A点的竖向位移。w11w22w34348aEIqwEIqa20484动脑又动笔利用已有结果计算A点挠度。aa/2mEIAaa/2mEIAaa/2mEIAEImaaEImaaw623221EImaEIamw822222EIma例求图示结构中A点的竖向位移。LLLEAEIEIPALLLEAEIEIPA例求图示结构中A点的竖向位移。w2w3w1u111uwEAPLLw2EIPLw3333211233223ALIEIPLEIPL33LEILPLw3)(2PPP例求C点竖向位移v。aw2aGILPaABP)(PLaABCPTTTTTw2PPPPw1PPPPPw3321ABEIPLw333BCEIPaw331ABGILPaP23.利用结构、荷载和变形特点建立简化计算模型利用结构、荷载对称性简化计算对称结构承受对称荷载情况对称面（点）上剪力、扭矩为零变形对称内力对称对称面（点）上转角为零对称面（点）上轴力、弯矩一般不为零对称面（点）上垂直于对称轴的位移为零对称面（点）上沿对称轴的位移一般不为零3.利用结构、荷载和变形特点建立简化计算模型利用结构、荷载对称性简化计算对称面（点）上剪力、扭矩一般不为零变形反对称内力反对称对称面（点）上转角一般不为零对称面（点）上轴力、弯矩为零对称面（点）上沿对称轴的位移为零对称结构承受反对称荷载情况对称面（点）上垂直于对称轴的位移一般不为零aqEIaaa例求图示简支梁中点处的竖向位移w。梁的变形如图。aqEIaaa根据梁的对称性，其中点处的竖向位移与图示悬臂梁自由端处的位移w相等。aqEIaaaqaqaqEIaaqawqEIaaqawaw1aw2EIqaw841aEIqaw632aqaw3aEIaqaw3)2(33EIa例求图示简支梁中点处的竖向位移w。结构的荷载等同于图示两种荷载的组合EIqLEILqw768384)2/(44102wEIqLw7684q2q2q2qEIL2L2q2q2q2例画刚架各部的抗弯刚度为EI，求AB两点间的相对位移。AFFBaaa由于结构对称而荷载反对称，结构下梁中点处弯矩为零，但剪力不为零。这样结构便可只考虑其一半，并简化如图：AFF这一半的结构上下对称，因此可进一步简化。aEIaFaavC21)(EIFavv65321EIFav332AB两点间的相对位移为EIFaEIFa31065433AFAFAF分析和讨论在下列不同的加载方式中，哪一种刚度最高？L/3qLL/3L/3qLL/2L/2Lq分析和讨论分析和讨论在下列不同的支承方式中，哪一种刚度最高？qqq分析和讨论梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能够改善强度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？能够改善刚度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？q求解超静定梁问题的步骤1)将某个约束确定为“多余”约束，解除这个约束，使结构成为静定结构（称为静定基），并将所解除的约束用“多余约束力”代替。2)在静定基上，分别求出原荷载和“多余约束力”在解除约束处的挠度或转角。3)根据解除约束处的实际位移情况建立协调方程，并从这个方程中求出“多余约束力”。qLB静定结构的选择不是唯一的REIqLq243EImLm30mqA281qLm3qL/8qL2/85qL/8mAAmAqBmA例画出如图结构的剪力弯矩图。左梁右梁协调条件故有EIqLEIRLwl16643EIqLwq284EIRLwR233EIRLwr33rlwwEIRLEIqLEIRL3166343qLR81FSxqL/87qL/8LLqEI2EILLqEI2EIRRqL/8qL2/87qL/83qL2/8xM3qL2/8qL2/8qL2/128如图的两个长度均为a的简支梁在中点垂直相交。求中点的挠度。动脑又动笔EIRaEIFawt484833)2(483EIRawbEIRaEIRaEIFa964848333FR32EIFaEIaFw14448333FEI2EIaaEIEIEAaqACB例求图示A处的支反力。B处位移BC的变形量EIRawB33