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1.了解离散型随机变量的意义.2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列.1．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi(i＝1,2，…)的概率P(ξ＝xi)＝pi，则称表ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…为随机变量ξ的，简称为ξ的分布列．概率分布(2)离散型随机变量的两个性质①.②.pi(i＝1,2,3，…)≥0p1＋p2＋…＝12．二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝.其中k＝0,1，…，n，q＝1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：Cpkqn－kkn我们称这样的随机变量ξ服从，记作，其中n、p为参数，并记．ξ01…k…nPCp0qnCp1qn－1…Cpkqn－k…Cpnq00n1nknnn二项分布ξ～B(n，p)Cpkqn－k＝b(k；n，p)kn3．几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作试验的次数ξ的概率分布为：ξ123…k…Ppqpq2p…qk－1p…则称ξ服从几何分布，记为，其中q＝1－p，k＝1,2,3，….g(k，p)＝qk－1p1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A.ξ012P0.30.40.5B.ξ012P0.3－0.10.8C.D.ξ1234P0.20.50.30ξ012P答案：C解析：根据离散型随机变量的两个性质逐个检验.2．袋中有大小相同的6只钢球，分别标有1,2,3,4,5,6六个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为ξ，则ξ的所有可能取值个数为()A．36B．12C．9D．8解析：ξ的所有可能取值为：3,4,5,6,7,8,9,10,11共9个．答案：C3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(ξ＝2)＝()A.B.C.D.解析：∵＝1，∴a＝3，P(ξ＝2)＝.答案：C4．已知随机变量ξ的分布列为：则x＝________.ξ01234P0.10.20.3x0.1解析：∵0.1＋0.2＋0.3＋x＋0.1＝1，∴x＝0.3.答案：0.35．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是__________．解析：设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝.答案：1.离散型随机变量的特征是能一一列出，且每一个值各代表一个试验结果，所以研究随机变量时，关心的是随机变量能取哪些值，包含了哪些试验结果(基本事件)．2．离散型随机变量的分布列常用表格的形式表示，其结构为两行、n＋1列，第一行表示随机变量的取值，第二行对应于随机变量的概率．设离散型随机变量ξ的分布列为ξ01234P0.20.10.10.3m求：(1)2ξ＋1的分布列；(2)|ξ－1|的分布列．[思路点拨][课堂笔记]由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：ξ012342ξ＋113579|ξ－1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2ξ＋1的分布列：2ξ＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|ξ－1|的分布列：|ξ－1|0123P0.10.30.30.3保持题目条件不变，求P(12ξ＋19).解：P(12ξ＋19)＝P(2ξ＋1＝3)＋P(2ξ＋1＝5)＋P(2ξ＋1＝7)＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5.求一随机变量的分布列，可按下面的步骤：1．明确随机变量的取值范围；2．求出每一个随机变量在某一范围内取值的概率；3．列成表格．[特别警示](1)解决该类问题的关键是搞清离散型随机变量ξ取每一个值时对应的随机事件，然后求出ξ取每一个值的概率．(2)列出分布列后，要注意应用分布列的性质检验所求的分布列或概率是否正确．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量ξ的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．[思路点拨][课堂笔记](1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝.法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．因为P(B)＝，所以P(A)＝1－P(B)＝1－.(2)由题意，ξ所有可能的取值为2,3,4,5.P(ξ＝2)＝；P(ξ＝3)＝；P(ξ＝4)＝；P(ξ＝5)＝.所以随机变量ξ的概率分布列为：ξ2345P(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”记为事件C，则P(C)＝P(ξ＝3或ξ＝4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝.若将题目条件中的“最大数字”改为“最小数字”，试解决上述问题？解：(1)同例2解法.(2)由题意，ξ所有可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝；P(ξ＝3)＝；P(ξ＝4)＝.所以随机变量ξ的分布列为：ξ1234P(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(ξ＝3或ξ＝4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝.1.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．2.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.在利用该公式时一定要审清公式中的n，k各是多少．kn某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．[思路点拨][课堂笔记](1)任选1名下岗人员，设“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是P1＝P()＝P()·P()＝0.4×0.25＝0.1.所以该人参加过培训的概率是P2＝1－P1＝1－0.1＝0.9.法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是P3＝P(A·)＋P(·B)＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45.该人参加过两项培训的概率是P4＝P(A·B)＝0.6×0.75＝0.45.所以该人参加过培训的概率是P5＝P3＋P4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3,0.9)，P(ξ＝k)＝C×0.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，即ξ的分布列为：k3ξ0123P0.0010.0270.2430.729以实际问题为背景，以解答题的形式考查随机变量的概率、分布列是高考对本节内容的常规考法.09年福建高考将概率、离散型随机变量的分布列与集合、组合数的性质等相结合考查，是一个新的考查方向.[考题印证](2009·福建高考)(12分)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．....【解】(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.基本事件总数n＝＝31；事件A包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}事件A包含的基本事件数m＝3.∴P(A)＝.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)(2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5.又P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝；P(ξ＝3)＝；P(ξ＝4)＝；P(ξ＝5)＝.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(8分)故ξ的分布列为：ξ12345P从而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)┄┄┄┄(10分)[自主体验]某中学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加，且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．(1)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法种数；(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率；(3)设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生参加A社团的人数，求ξ的分布列与数学期望．解：(1)甲、乙、丙三名学生参加五个社团的选法均有5种，故共有5×5×5＝125(种)．(2)三名学生选择三个不同社团的概率是.∴三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为1－.(3)由题意ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝；P(ξ＝3)＝.故ξ的分布列为：ξ0123P∴数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.1．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，如果P(ξ4)＝0.3，那么()A．n＝3B．n＝4C．n＝9D．n＝10解析：P(ξ4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＝0.3，∴n＝10.答案：D2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0B.C.D.解析：设ξ的分布列为即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.∴由p＋2p＝1得p＝.答案：Cξ01Pp2p3．设随机变量ξ服从二项分布B(6，)，则P(ξ＝3)＝()A.B.C.D.解析：P(ξ＝3)＝C×()3×(1－)3＝答案：A4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为：ξ012P解析：P(ξ＝0)＝＝0.1，P(ξ＝1)＝＝0.6.P(ξ＝2)＝＝0.3，答案：0.10.60.35．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝______.解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝.答案：