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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数的分段一般不超过三段).1.函数及其相关概念2.影射及其相关概念1.若对应关系f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法错误的是()A.A中的每一个元素在集合B中都有像B.A中两个元素在B中的像必定不同C.B中两个元素若在A中有原像，则它们必定不同D.B中的元素在A中可能没有对应原像..解析：根据映射的概念可知，A中两个元素可以和B中的同一个元素对应，即允许多对一，不允许一对多.答案：B2.如图所示，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是()解析：A、B、C选项中都有“一对二”情形，不符合函数定义中从集合A到集合B应为“一一对应”或“多对一对应”，只有D符合函数定义.故选D.答案：D3.下列各组函数是同一函数的是()A.y＝与y＝1B.y＝与y＝C.y＝与y＝2x－1D.y＝与y＝x解析：∵y＝排除A；y＝排除B；y＝排除C.答案：D4.若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝.解析：∵f(x)＝x2＋bx＋c，f(1)＝0，f(3)＝0.∴1＋3＝－b,1×3＝c.即b＝－4，c＝3.∴f(x)＝x2－4x＋3.∴f(－1)＝1＋4＋3＝8.答案：85.设函数f(x)＝，若f(x)＝10，则x＝.解析：当x＞0时，－2x＜0，故不合题意；当x≤0时，x2＋1＝10，∴x＝－3.答案：－3对于映射f：A→B的理解要抓住以下三点：1.集合A、B及对应关系f是确定的，是一个整体，是一个系统；2.对应关系f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系是不同的；3.对于A中的任意元素a，在B中有唯一元素b与之相对应.其要点在“任意”、“唯一”两词上.已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之相对应，则k的取值范围是()A.k＞1B.k≥1C.k＜1D.k≤1[思路点拨][课堂笔记]由题意，方程－x2＋2x＝k无实数根，也就是x2－2x＋k＝0无实数根.∴Δ＝(－2)2－4k＝4(1－k)＜0，∴k＞1.∴当k＞1时，集合A中不存在元素与实数k∈B对应.[答案]A若－15∈B，则在集合A中与之对应的元素x为何值？解：∵－15∈B，∴－x2＋2x＝－15.即x2－2x－15＝0解之得x＝－3或x＝5.求函数解析式的常用方法1.配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；2.换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，得f(t)的解析式即可；3.待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；4.赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.5.解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于f(x)的方程组求f(x).[特别警示]函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要说明函数的定义域.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(x)的解析式.[思路点拨][课堂笔记](1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立.∴解得∴f(x)＝2x＋7.(2)法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1).代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1).法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1).解：∵f(x)＋2f()＝3x，①∴以代x，则f()＋2f(x)＝3·.②由①②联立消去f()得f(x)＝－x(x≠0).故f(x)＝－x(x≠0).若将(2)中的条件改变“f(x)＋2f()＝3x”，如何求解？分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不同的函数，解决与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性)的一般方法.[特别警示]分段函数的解析式虽然由几部分构成，但它表示的是一个函数.设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A.1B.2C.3D.4[思路点拨][课堂笔记]法一：若x≤0，f(x)＝x2＋bx＋c.∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴解得∴f(x)＝当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，解得x＝－2，或x＝－1；当x＞0时，由f(x)＝x，得x＝2.∴方程f(x)＝x有3个解.法二：由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示).方程f(x)＝x的解的个数就是函数图象y＝f(x)与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解.[答案]C分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的函数值为主，属容易题，但09年山东高考将函数的周期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度陡然增加，这也代表了一种新的考查方向.[考题印证](2009·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2009)的值为()A.－1B.0C.1D.2【解析】∵x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，又f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，两式相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，故f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故函数周期为6.∴f(2009)＝f(6×334＋5)＝f(5)＝f(－1)＝log22＝1.【答案】C[自主体验]已知符号函数sgnx＝则不等式(x＋1)sgnx＞2的解集为.解析：当x＞0时，sgnx＝1.由(x＋1)sgnx＞2得x＞1.当x＝0时，sgnx＝0.不等式(x＋1)sgnx＞2解集为∅.当x＜0时，sgn＝－1，由不等式(x＋1)sgnx＞2得x＜－3.综上可知不等式(x＋1)sgnx＞2的解集为{x|x＜－3或x＞1}.答案：{x|x＜－3或x＞1}1.已知f：x→－sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B＝{0，}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有()A.4个B.5个C.6个D.7个解析：∵A⊆[0,2π]，由－sinx＝0得x＝0，π，2π；由－sinx＝，得x＝，，∴A中最多有5个元素.答案：B2.已知函数f(x)＝，那么f[f()]的值为()A.9B.C.－9D.－解析：由于f[f()]＝f(log2)＝f(－2)＝3－2＝.答案：B3.若f(x)对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝()A.x－1B.x＋1C.2x＋1D.3x＋3解析：∵2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①用－x代x得，2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，②①×2＋②得，3f(x)＝3x＋3，∴f(x)＝x＋1.答案：B解析：∵f(x)＝x2＋2x＋a，∴f(bx)＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.则∴f(x)＝x2＋2x＋2，则f(ax＋b)＝f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5.4.已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则f(ax＋b)＝.答案：4x2－8x＋5∴a＝2，b＝－3.5.已知函数f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)且f(2)＝p，f(3)＝q，则f(36)＝.解析：f(36)＝f(6)＋f(6)＝2f(2×3)＝2[f(2)＋f(3)]＝2(p＋q).答案：2(p＋q)6.已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式.解：(1)因为对任意x∈R有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，所以f[f(2)－22＋2]＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.又f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易验证该函数满足题设条件.综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.