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1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况.1.幂函数的定义如果一个函数，底数是，指数是，即y＝xα，这样的函数称为幂函数.自变量x常数α［思考探究1］幂函数与指数函数有何不同？提示：本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置.2.幂函数的图象[思考探究2]在上图第一象限中如何确定y＝x3，y＝x2，y＝x，y＝，y＝x－1的图象？提示：画出直线x＝x0，当x0＞1时，，即当x＞1时，从上到下依次为y＝x3，y＝x2，y＝x，y＝，y＝x－1的图象，在(1,1)点处相交.当x0＜1时，,即当x＜1时，从上到下依次为y＝x－1，y＝，y＝x，y＝x2，y＝x3的图象.在上减；在上增(0，＋3.幂函数的性质特征函数性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域值域奇偶性单调性定点在上减；在上减幂函数的图象过定点RRRRR[0，＋∞){x|x≠0}[0，＋∞)[0，＋∞){y|y≠0}奇偶奇奇非奇非偶增函数(－∞，0]∞)增函数增函数(－∞，0)(0，＋∞)(1,1)4.二次函数1.下列函数中：①y＝②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝是幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4解析：由幂函数定义可知，y＝＝x－3，y＝＝为幂函数.答案：B2.已知点M(,3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()A.f(x)＝x2B.f(x)＝x－2C.f(x)＝D.f(x)＝解析：设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝()α，∴α＝－2，∴y＝x－2答案：B3.函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是()A.－B.3C.－1D.不存在解析：函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝＞1，∴函数y＝2x2－6x＋3，在x∈[－1,1]上为单调递减函数，∴ymin＝2－6＋3＝－1.答案：C4.若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝.解析：设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).∵f(0)＝1，∴c＝1，即f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1，即f(x)＝x2－x＋1.答案：x2－x＋15.若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则f(x)max＝.解析：由题知∴∴f(x)＝x2－2x＋6，x∈[－4,6]，∴当x＝－4或6时，f(x)max＝30.答案：30幂函数y＝xα的性质和图象，由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1)α的正负：α＞0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α＜0时图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”；(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时曲线下凹，0＜α＜1时曲线上凸，α＜0时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.[特别警示]无论α取何值，幂函数的图象必经过第一象限，且一定不经过第四象限.已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足：(a＋1)＜(3－2a)的a的范围.[思路点拨][课堂笔记]∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)＜(3－2a)等价于a＋1＞3－2a＞0，或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或＜a＜.故a的范围为{a|a＜－1或＜a＜}.一元二次函数的三种不同解析式实质上是一样的，用哪种形式的解析式，取决于不同的条件.求其解析式时一般用待定系数法，经过三点用一般式；给出顶点坐标，用顶点式；已知与x轴的两交点，用双根式.[特别警示]二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解.在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起.已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围.[思路点拨][课堂笔记](1)由题意知：解得∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，∴g(x)＝－x2＋2x.(2)F(x)＝－x2＋2x－λ(x2＋2x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x.∵F(x)在(－1,1]上是增函数，∴F′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0在(－1,1]上恒成立，即λ≤在(－1,1]上恒成立.令u＝－1，由u＝－1在(－1,1]上为减函数可知，当x＝1时u取最小值0，故λ≤0，即所求λ的取值范围是(－∞，0].若将例(2)中的“增函数”改为“单调函数”，求实数λ的取值范围.解：F(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x.当1＋λ＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x在(－1,1]上为单调函数.当1＋λ≠0时，函数图象的对称轴为x＝,则≥1或≤－1，解之得λ＜－1或－1＜λ≤0，综上所述，λ的取值范围为λ≤0.二次函数求最值问题，首先采用配方法化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：1.顶点固定，区间也固定；2.顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；3.顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值.已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值.[思路点拨][课堂笔记]∵f(x)＝4(x－)2－2a＋2，对称轴为x＝.①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a＜0，∴a＝1－.②当0＜＜2，即0＜a＜4时，f(x)min＝f()＝－2a＋2.由－2a＋2＝3，得a＝－∉(0,4)，舍去.③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±，∵a≥4，∴a＝5＋.综上所述，a＝1－或a＝5＋.二次函数是一种常考常新的“老函数”，特别是二次函数的图象以及单调性是高考的常考内容，09年江苏高考将二次函数的概念、性质、图象与一元二次不等式的解法相结合，考查学生灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的能力，符合新课标的要求，是一个新的考查方向.[考题印证](2009·江苏高考)(12分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.【解】(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，┄┄┄┄┄(1分)所以－a0，即a0.┄┄┄┄┄┄┄(2分)由a2≥1知a≤－1.因此，a的取值范围为(－∞，－1].(2)记f(x)的最小值为g(a).我们有f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝①②(i)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，┄┄┄(3分)由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.┄┄┄(4分)(ⅱ)当a0时，f()＝a2.若xa，则由①知f(x)≥a2；┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)若x≤a，则x＋a≤2a0，由②知f(x)≥2a2a2.┄(6分)此时g(a)＝a2.综上得g(a)＝┄┄┄┄┄┄┄(7分)(3)(ⅰ)当a∈(－∞，－]∪[，＋∞)时，解集为(a，＋∞)；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)(ⅱ)当a∈[－，)时，┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)解集为[，＋∞)；(ⅲ)当a∈(－，－)时，┄┄┄┄┄┄┄┄(11分)解集为(a，]∪[，＋∞).(12分)[自主体验]设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根x1和x2满足0＜x1＜x2＜1.(1)求实数a的取值范围；(2)试比较f(0)f(1)－f(0)与的大小，并说明理由.解：令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，则由题意可得⇒0＜a＜3－.故所求实数a的取值范围是(0,3－).或a＞3＋(2)法一：f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，令h(a)＝2a2.∵当a＞0时h(a)单调增加，∴当0＜a＜3－时，0＜h(a)＜h(3－2)＝2(3－2)2＝2(17－12)＝2·＜，即f(0)f(1)－f(0)＜.法二：(2)∵f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，由(1)知0＜a＜3－，∴－1＜－17＜0，又＋1＞0，于是2a2－＝(32a2－1)＝(－1)(＋1)＜0，即2a2－＜0，故f(0)f(1)－f(0)＜.1.若幂函数y＝(m2－3m＋3)的图像不经过原点，则实数m的值等于()A.1B.2C.1或2D.022mmx－－解析：由于函数y＝(m2－3m＋3)是幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或2.当m＝1时y＝(m2－3m＋3)＝x－2，定义域是{x|x∈R，x≠0}，图像不经过原点；当m＝2时，y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2＝x0，定义域是{x|x∈R，x≠0}，图像不经过原点.答案：C22mmx－－22mmx－－2.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A.1,3B.－1,1C.－1,3D.－1,1,3解析：∵y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴α＝－1不合题意.排除B、C、D，故选A.答案：A3.已知2x2－3x≤0，那么函数f(x)＝x2＋x＋1()A.有最小值，但无最大值B.有最小值，有最大值1C.有最小值1，有最大值D.无最小值，也无最大值解析：∵2x2－3x≤0，∴0≤x≤，又∵f(x)＝(x＋)2＋，∴f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max＝f()＝.答案：C4.方程mx2＋2mx＋1＝0有一根大于1，另一根小于1，则实数m的取值范围是.解析：令f(x)＝mx2＋2m＋1，当m＞0时，f(1)＝3m＋1＜0，即m＜－，舍去；当m＜0时，3m＋1＞0，即m＞－，∴－＜m＜0.答案：－＜m＜05.已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，若α、β(α＜β)是方程f(x)＝0的两个根，则实数a，b，α，β之间的大小关系是.解析：已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，若α、β(α＜β)是方程f(x)＝0的两个根，则实数a，b，α，β之间的大小关系是若令g(x)＝(x－a)(x－b)，显然函数g(x)的两个零点是a，b函数f(x)的两个零点是α，β，而函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向上平移两个单位得到的，结合图象可知：a＜α＜β＜b.答案：a＜α＜β＜b6.函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t).(1)试写出g(t)的函数关系式；(2)作出g(t)的大致图象，并写出g(t)的最小值.解：(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上是