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1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性和周期性．1．奇函数2．偶函数3．周期函数[思考探究]是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？提示：存在．该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，且解析式化简后等于0.1.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(－x)是奇函数B.f(x)|f(－x)|是奇函数C.f(x)－f(－x)是偶函数D.f(x)＋f(－x)是偶函数解析：令F(x)＝f(x)＋f(－x).F(－x)＝f(－x)＋f(x)为偶函数，故D正确.答案：D2.对任意实数x，下列函数中的奇函数是()A.y＝2x－3B.y＝－3x2C.y＝ln5xD.y＝－|x|cosx解析：若f(x)＝ln5x，则f(－x)＝ln5－x＝ln(5x)－1＝－ln5x＝－f(x).∴函数y＝ln5x为奇函数.答案：C3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A.－B.C.D.－解析：∵函数f(x)＝ax2＋bx在x∈[a－1,2a]上为偶函数，∴b＝0，且a－1＋2a＝0，即b＝0，a＝.∴a＋b＝.答案：B4.已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝.解析：由题意得f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝f(3)－f(2)＝1.答案：15.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝.解析：∵f(x)为奇函数，∴由f(－1)＝－f(1)得a＝－1.答案：－1判断函数奇偶性的一般方法(1)首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称的.否则，既不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：①定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数.②等价形式判断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数，f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数.或等价于：，则f(x)为偶函数；＝－1，则f(x)为奇函数.(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.[特别警示]分段函数的奇偶性判定，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x范围取相应的解析式化简.此类问题也可利用图象作判断.判断下列函数的奇偶性：[思路点拨][课堂笔记](1)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∴f(x)是偶函数.(2)函数定义域为R.∴f(x)是奇函数.(3)由得x＝－，或x＝.∴函数f(x)的定义域为{－，}.又∵对任意的x∈{－，}，－x∈{－，}且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x).∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x).故f(x)为奇函数.(5)函数f(x)的定义域为R.当a＝0时，f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数；当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2.f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)＝2(|a|－)2＋≠0，∴f(x)是非奇非偶函数.判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)，f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；(3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12).[思路点拨][课堂笔记](1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称.又∵函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).∴令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.(2)∵f(－3)＝a且f(x)为奇函数，∴f(3)＝－f(－3)＝－a.又∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x、y∈R，∴f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)＝2f(3＋3)＝4f(3)＝－4a.(1)对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；(2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性.函数f(x)的定义域为D＝{x|x∈R且x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.[思路点拨][课堂笔记](1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2.f(16×4)=f(16)+f(4)=3，∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3，即f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)．(*)法一：∵f(x)为偶函数，∴f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64).又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0＜|(3x＋1)(2x－6)|≤64.解上式，得3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.∴x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.法二：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(*)等价于不等式组或或∴3＜x≤5或≤x＜－或－＜x＜3.∴x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.将本例中的条件f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)改为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，定义域D＝{x|x≠0}改为D＝R，求解第(2)，(3)问.∴f(x)为奇函数.解：(2)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0；令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，(3)∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，f(12)＝f(4＋8)＝f(4)＋f(8)＝3.又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，∴f(3x＋1＋2x－6)≤f(12)，即f(5x－5)≤f(12).又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(x)为奇函数，∴f(x)在R上是增函数，∴5x－5≤12，∴x≤.(1)判断函数的周期，只须证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点．(2)周期函数的性质，f(x＋kT)＝f(x)其中k是整数．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0，2009]上的所有x的个数．[思路点拨][课堂笔记](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x.设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝(－x)＝－x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)又设1x3，则－1x－21，∴f(x－2)＝(x－2)，又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)＋2]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)，∴f(x)＝－(x－2)，(1x3)，由f(x)＝－，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数．故f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2009，则又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴在[0，2009]上共有502个x使f(x)＝－.函数奇偶性的判定以及利用函数的奇偶性求参数是高考对函数奇偶性的常规考法，09年山东、陕西等省将函数的奇偶性、单调性以及比较大小等问题综合出现在高考试题中，这是高考新的一个考查方向.[考题印证](2009·山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A.f(－25)＜f(11)＜f(80)B.f(80)＜f(11)＜f(－25)C.f(11)＜f(80)＜f(－25)D.f(－25)＜f(80)＜f(11)【解析】∵f(x－4)＝－f(x)，∴T＝8.又f(x)是奇函数，∴f(0)＝0.∵f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)＞0，∴f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)＜0.又x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)＞0，且f(x)为减函数.同理f(x)在[4,6]为减函数且f(x)＜0.如图.∵f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0，∴f(－25)＜f(80)＜f(11).【答案】D[自主体验](2009·陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0.则当n∈N*时，有()A.f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)B.f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C.f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)D.f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)解析：由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0得f(x)在x∈(－∞，0]为增函数.又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈(0，＋∞)为减函数.又f(－n)＝f(n)且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f(n＋1)＜f(n)＜f(n－1)，即f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1).答案：C1．函数y＝－x2(x∈R)是()A．左减右增的偶函数B．左增右减的偶函数C．减函数、奇函数D．增函数、奇函数解析：函数y＝－x2为偶函数，单调增区间为(－∞，0]，单调减区间为(0，＋∞)．答案：B2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y＝－x3，x∈RB.y＝sinx，x∈RC.y＝x，x∈RD.y＝()x，x∈R解析：y＝－x3为奇函数且为减函数；y＝sinx为奇函数，但不是单调函数；y＝x为增函数；y＝()x不是奇函数.答案：A3.函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A.3B.0C.－1D.－2解析：f(a)＝a3＋sina＋1，①f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－a3－sina＋1，②①＋②得f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－2＝0.答案：B4.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝()x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是.解析：∵f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝()x，①∴f(－x)－g(－x)＝()－x，即－f(x)－g(x)＝2x，∴f(x)＋g(x)＝－2x，②由①②得答案：f(1)g(0)g(－1)5.设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是.解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|).∴不等式f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|).又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数.答案：解得6.已知函数f(x)＝(a、b、