高考数学一轮复习 立体几何中向量方法(证明平行和垂直)02课件

例3如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1.(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．利用空间向量解决探索性问题(1)可以用几何法，也可以用向量法．(2)利用向量法一般比较方便．(1)证明∵PA⊥面ABCD，∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，易得CD＝AC＝2，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD.(2)解分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则PE→＝(0，y，z－1)，PD→＝(0,2，－1)．∵PE→∥PD→，∴y·(－1)－2(z－1)＝0①∵AD→＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE→＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB.∴CE→⊥AD→.∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.将y＝1代入①，得z＝12.∴E是PD的中点，∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点．对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．探究提高如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B—AC—D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与平面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．变式训练3因此BC→·DA→＝－1＋1＝0，所以AD⊥BC.(1)证明作AH⊥平面BCD于H，连结BH、CH、DH，则四边形BHCD是正方形，且AH＝1，以D为原点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，以垂直于DB的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)，所以BC→＝(－1,1,0)，DA→＝(1,1,1)，(2)解设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，则由n1⊥BC→知：n1·BC→＝－x＋y＝0，同理由n1⊥AC→知：n1·AC→＝－x－z＝0，可取n1＝(1,1，－1)，同理，可求得平面ACD的一个法向量为n1＝(1,0，－1)．∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝1＋0＋13×2＝63.即二面角B—AC—D的余弦值为63.(3)解设E(x，y，z)是线段AC上一点，则x＝z0，y＝1，所以DE→＝(x,1，x)，设平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，要使ED与平面BCD成30°角，由图可知DE→与n的夹角为60°，所以cos〈DE→，n〉＝DE→·n|DE→||n|＝cos60°＝12，所以2x＝1＋2x2，解得x＝22，所以CE＝2x＝1.故线段AC上存在一点E，使ED与平面BCD成30°角，且当CE＝1时，ED与平面BCD成30°角．(14分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点．求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.答题规范利用空间向量证明平行、垂直要规范学生解答展示建立空间直角坐标系，(1)求证线面平行转化为求证直线的方向向量与平面法向量垂直．(2)面面平行转化为法向量平行进行求证．审题视角规范解答证明(1)如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，则有D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、C1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1)，所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1)．[2分]设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量，则n1⊥DA→，n1⊥AE→，即n1·DA→＝2x1＝0，n1·AE→＝2y1＋z1＝0.解得x1＝0，z1＝－2y1.令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．[6分]因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.[8分](2)由(1)得B1(2,2,2)，C1B1→＝(2,0,0)．[9分]设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，则n2⊥FC1→，n2⊥C1B1→，即n2·FC1→＝2y2＋z2＝0，n2·C1B1→＝2x2＝0.解得x2＝0，z2＝－2y2.令z2＝2，则y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)．[12分]因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.[14分](1)本题考查线面、面面平行的证明．可用几何法，也可用向量法．(2)在利用向量法时，要注意向量的平行与垂直与几何中的平行与垂直的区别及联系．(3)直线的方向向量垂直于平面α的法向量，直线可能平行于平面，也可能在平面内．批阅笔记(1)本题考查线面、面面平行的证明．可用几何法，也可用向量法．(2)在利用向量法时，要注意向量的平行与垂直与几何中的平行与垂直的区别及联系．(3)直线的方向向量垂直于平面α的法向量，直线可能平行于平面，也可能在平面内．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．方法与技巧用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．失误与防范点、线、面之间的位置关系空间几何体空间几何体的结构空间几何体的体积、表面积柱、锥、台、球的结构特征三视图与直观图的画法知识网络知识网络设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则1.线线、线面、面面间的平行关系垂直关系ml线线垂直l线面垂直面面垂直0baba0vuvuuaua//ml//线线平行//l线面平行//面面平行baba//0uauavuvu//平行关系lmabluauv要点梳理2.线线、线面、面面间的垂直关系设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则垂直关系ml线线垂直l线面垂直面面垂直0baba0vuvuuaua//ml//线线平行//l线面平行//面面平行baba//0uauavuvu//平行关系lambulauv要点梳理空间角图形角的范围计算公式线线角线面角面面角BAnnBAsin|cos,|||||||BAnBAnBAncos|cos,|ababab12,,nn121212cos,||||nnnnnn12,nnl1n1n2n2n1n1n2n2nlab[0,]2(0,]2[0,]要点梳理