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1.了解二元一次不等式表示平面区域．2．了解线性规划的意义，并会简单应用．1.二元一次不等式(组)表示平面区域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线l：某一侧所有点组成的平面区域，直线l应画成以表示区域不包括边界直线．(2)二元一次不等式Ax＋By＋C0表示直线l另一侧所有点组成的平面区域．画不等式Ax＋By＋C≥0(≤0)所表示的平面区域时，应把边界直线画成．Ax＋By＋C＝0虚线实线[思考探究1]点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0两侧的充要条件是什么？提示：点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0.2.线性规划的有关概念[思考探究2]可行解和最优解有什么联系和区别？提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.1.不等式x2－y2≥0所表示的平面区域(阴影部分)是()解析：法一：x2－y2≥0⇒(x＋y)(x－y)≥0⇒或法二：x2－y2≥0⇔x2≥y2⇔|x|≥|y|.答案：C2.不等式x＋3y－1＜0表示的平面区域在直线x＋3y－1＝0的()A.右上方B.右下方C.左下方D.左上方答案：C3.下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是()A.(0,2)B.(－2,0)C.(0，－2)D.(2,0)解析：本题可以利用代入法验证，逐一排除.答案：C4.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是.解析：先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域.由图知：5≤a7.答案：[5,7)5.已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最小值是.解析：由约束条件画出x，y满足的可行域，得三个点A(2,0)，B(5,3)，C(－1,3)，当目标函数过点C(－1,3)时z取得最小值.答案：1二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法1.直线定界，特殊点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.若直线不过原点，特殊点常选取原点.2.同号上，异号下即当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.[特别警示](1)Ax＋By＋C0(0)：表示直线l：Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线应画成虚线．(2)Ax＋By＋C≥0(≤0)：表示直线l：Ax＋By＋C＝0某一侧含边界直线上的所有点组成的平面区域，直线l应画成实线．(2009·安徽高考改编)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，求k的值.[思路点拨][课堂笔记]由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋恰过A(0，)，y＝kx＋将区域平均分成面积相等两部分，故过AB的中点D()，＝k×＋，k＝.1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，根据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值.2.最优解的确定方法线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b0时，则是向下方平移.[特别警示]当目标函数不是直线形式时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与(a，b)的距离.(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.已知实数x，y满足(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值.(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值；(3)若z＝，求z的最大值和最小值.[思路点拨][课堂笔记]不等式组表示的平面区域如图所示.图中阴影部分即为可行域.由得∴A(1,2)；由得∴B(2,1)；由得∴M(2,3).(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，当直线y＝－2x＋z经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，z也最大，此时zmax＝2×2＋3＝7.当直线y＝－2x＋z经过可行域内点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，z也最小，此时zmin＝2×1＋2＝4.所以z的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x＋y－3＝0，垂足为N，则直线l的方程为y＝x，由得∴N()，点N()在线段AB上，也在可行域内.此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小.又|OM|＝，|ON|＝，即≤≤，∴≤x2＋y2≤13，所以，z的最大值为13，z的最小值为.(3)∵kOA＝2，kOB＝，∴≤≤2，所以z的最大值为2，z的最小值为.在例2中，若z＝ax＋y(其中a＞0)，仅在点(1,2)处取得最小值，求a的范围.解：∵直线x＋y－3＝0的斜率k1＝－1，z＝ax＋y(a＞0)的斜率k2＝－a，由题意k1＞k2，即－1＞－a，得a＞1.1.能建立线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.2.解线性规划应用问题的步骤(1)设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；(2)利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使目标函数达到最大或最小.[特别警示](1)用图解法解答线性规划应用题时应注意仔细审题，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，探求的目标如何？起关键作用的变量有哪些？由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，一般可将数据列成一个表格来帮助分析数量关系.(2)要注意结合实际问题，确定未知数x、y等是否有限制.(2009·四川高考改编)某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，求该企业可获得最大利润是多少？[思路点拨]确定线性约束条件和线性目标函数后求目标函数最大值．[课堂笔记]设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，由图可知，最优解为P(3,4)，∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．即该企业可获得的最大利润是27万元．以选择题和填空题的形式考查给出线性约束条件，求线性目标函数的最值问题是高考对本节内容的常规考法.09年山东、安徽、福建高考则考查了线性规划的逆向性问题，即已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中所含参数的最值范围问题，这是一个新的考查方向．[考题印证](2009·山东高考)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则的最小值为()A.B.C.D.4【解析】由图形可知，目标函数在(4,6)处取得最大值12，∴2a＋3b＝6，从而有＝＝＝【答案】A[自主体验]已知x、y满足且目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则＝()A.－2B.2C.1D.－1解析：先作出所表示的平面区域，再将目标函数z＝2x＋y进行平移，可知目标函数z＝2x＋y在直线2x＋y＝7和x＋y＝4的交点(3,1)处取得最大值7，在直线2x＋y＝1和x＝1的交点(1，－1)处取得最小值1，故直线ax＋by＋c＝0经过点(3,1)与点(1，－1)，且c0，代入两点坐标可解得故＝－2.答案：A1.(2009·安徽高考)不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C.D.解析：不等式组表示的平面区域如图所示.A(0，)，B(1,1)，C(0,4).∴S△ABC＝|AC|·h答案：C2．(2010·济南模拟)已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝y－ax仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：点(5,3)为直线y＝3和直线x－y＝2的交点，通过绘制可行域，观察直线z＝y－ax绕点(5,3)旋转，易得该直线的斜率即a的取值范围为(1，＋∞)．答案：A3.若实数x，y满足且x2＋y2的最大值等于34，则正实数a的值等于()A.B.C.D.解析：在平面直角坐标系中画出已知不等式组所表示的平面区域MPA(如图所示)，其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为a.又由于x2＋y2＝()2，且x2＋y2的最大值等于34，所以平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于，又M(－，3)，OM＝＜，所以点P(＋1,3)到原点的距离最大，故有(＋1)2＋9＝34，解得a＝.答案：B4.如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，则△ABC区域所表示的二元一次不等式组为.解析：由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为：直线AB：x＋2y－2＝0，直线BC：x－y＋4＝0，直线CA：5x－2y＋2＝0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为答案：5.已知点(x，y)在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z＝kx－y.当且仅当x＝，y＝时，目标函数z取最小值，则实数k的取值范围是.解析：答案：6.某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元.问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解：将已知数据列成下表：商店每吨运费仓库甲乙丙AB836495设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)吨，从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x)吨、(8－y)吨、[5－(12－x－y)]＝(x＋y－7)吨，于是总运费为z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126.∴线性约束条件为，即，目标函数为z＝x－2y＋126.作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示作出直线l：x－2y＝0，把直线l平行移动，显然当直线l移动到过点(0,8)时，在可行域内z＝x－2y＋126取得最小值zmin＝0－2×8＋126＝110，则x＝0，y＝8时总运费最小.