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自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。空间直角坐标系共有八个卦限自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧高等数学(一)北京自考吧、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。（1）椭球面自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。6.2多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0,δ）,。2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧是开集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。连通的开集称为区域或开区域。开区域连同它的边界一起称为闭区域。3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为Rn；n维空间中两点间距离公式：设两点为自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。二、多元函数的概念1、多元函数的定义设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P（x,y）∈D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z=f（x,y）（或记为z=f（P））.类似地可定义三元及三元以上函数。当n≥2时，n元函数统称为多元函数。多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。例1、求的定义域。【答疑编号11060102】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧解：所求定义域为.2、二元函数z=f（x,y）的图形设函数z=f（x,y）的定义域为D，对于任意取定的P（x,y）∈D，对应的函数值为z=f（x,y），这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M（x,y,z），当x取遍D上一切点时，得一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧二元函数的图形通常是一张曲面。三、多元函数的极限自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧、求。【答疑编号11060103】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧解：原式。例3（教材332页习题6.2，2题（1）题）、求。【答疑编号11060104】例4（教材332页习题6.2，2题（2）题）、求。【答疑编号11060105】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧四、多元函数的连续性1、定义设二元函数f（P）的定义域为点集D，p0且p0∈D，如果则称二元函数f（P）在点P0处连续。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。一般地，求时，如果f（P）是初等函数，且P0是f（P）的定义域内的点，则f（P）在点P0处连续，于是。例5（教材332页习题6.2，3题（1）题）、判断在原点是否连续？【答疑编号11060106】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，相应地函数有增量。如果存在，则称此极限为函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对x的偏导数，记为。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧=f（x,y）在点（x0,y0）处对y的偏导数，为，记为。如果函数z=f（x,y）在区域D内任一点（x,y）处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f（x,y）对自变量x的偏导数，记作。同理可以定义函数z=f（x,y）对自变量y的偏导数，记作。偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u=f（x,y,z）在（x,y,z）处例1.求z=x2+3xy+y2在点（1,2）处的偏导数。【答疑编号11060201】解：自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧=xy（x＞0，x≠1）的一阶偏导数【答疑编号11060202】有关偏导数说明：偏导数是一个整体记号，不能拆分；自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（336例3）求下列函数对x和y的偏导数。（1）z=（1+3y）4x。【答疑编号11060203】（2）z=（lny）xy。【答疑编号11060204】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（340页2（2））求u=（1+xy）z，在点（1，2，3）的一阶偏导数。【答疑编号11060205】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧二、高阶偏导数函数z=f（x,y）的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。例5.设，求。【答疑编号11060206】解：自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（338页例6）设z=x2yey，求【答疑编号11060207】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧全微分一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得二元函数对x和对y的偏增量1.全增量的概念如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的某邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量△x，△y的全增量，记为△z，即自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧=f（x,y）在点（x,y）的全增量可以表示为，其中A，B不依赖于△x，△y而仅与x,y有关，，则称函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，A△x+B△y称为函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分，记为dz，即dz=A△x+B△y.函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分。二、多元函数连续、可导、可微的关系如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则函数在该点连续。事上故函数z=f（x,y）在点（x,y）处连续。定理1如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则该函数在点（x,y）连续，函数在点（x,y）的偏导数必存在，且函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分为。说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，定理2如果函数z=f（x,y）的偏导数存在，且在点（x,y）连续，则该函数在点（x,y）自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧可微分。记全微分为全微分的定义可以推广到三元及三元以上函数。三、例题分析例1.（教材344页例2（3））、求全微分z=x2y+exsiny。【答疑编号11060301】例2.（教材344页例2（2））、求全微分。【答疑编号11060302】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（教材344页习题6.4，1题（2）题）、求全微分。【答疑编号11060303】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧多元复合函数求导法则一、链式法则定理如果函数都在点t可导，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数在对应点t可导，则：定理假设函数z=f（u,v）可微，函数u=u（x,y）和v=f（x,y）有偏导灵敏，则它们的复合函数z=f（u（x,y）,v（x,y））作为x,y的函数有偏导数，且，。例1.设，而u=xy,v=x+y,求。【答疑编号11060304】解：。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（教材348页例2（1））、求导数【答疑编号11060305】例3.（教材348页例2（2））、求导数【答疑编号11060306】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧=f（xy,x+y）【答疑编号11060307】例5.（教材349页例5）、设z=F（x