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专题二开放性问题开放性问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭性问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题.重在考查学生观察、实验、验证、推理及分析问题和解决问题的能力，能全面检测学生的数学综合素质.一、条件开放性这类问题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件.解这种开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向推理，逐步探求.（2014·四川巴中）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是__________________，并证明;（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH.（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形.【解答】（1）添加：EH=FH.证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH.在△BEH和△CFH中，∴△BEH≌△CFH.BHCHBHECHFEHFH，，，（2）∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形.∵当BH=EH时，BC=EF.∴平行四边形BFCE是矩形.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，难度不大.1.（2014·湖南湘潭）如图，直线a，b被直线c所截，若满足_________________________________________________，则a，b平行.∠1=∠2（或∠2=∠3或∠3+∠4=180°或∠1+∠4=180°）2.（2015·黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件___________________，使四边形ABCD是正方形.（填一个即可）∠ABC=90°(或AC=BD)3.（2015·广东梅州）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是_____________.（写出一个即可）1AF=AC2AEF=BAFE=C （或∠∠或∠∠等）二、结论开放性这类问题是指题目中给出问题的条件，而结论不确定，并且符合条件的结论往往呈现多样性.这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍.（2015·浙江舟山）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CD，则∠CDE=∠AED，再根据Rt△DAE≌Rt△ABF，得∠AFB=∠AED，∠DAG=∠AED.（2）若选择∠CDE=∠AED，则利用平行线的性质证明，若选择∠AFB=∠AED，∠DAG=∠AED，则利用三角形全等来证明.【解答】（1）由图可知，与∠AED相等的角有∠CDF，∠DAG，∠AFB.（2）选择∠DAG=∠AED，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，DA=AB.在Rt△DAE和Rt△ABF中，∴Rt△DAE≌Rt△ABF，∴∠ADE=∠BAF.又∵∠ADE+∠AED=90°，∠BAF+∠DAG=90°，∴∠DAG=∠AED.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质.证明三角形全等是解答本题的关键.DAABDEAF，，4.写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：_________________.（填上一个答案即可）y=-x+35.（2015·湖南邵阳）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：____________________________________________.△ADF≌△CBE（或△ABC≌△CDA或△ABE≌△CDF）6.（2015·湖北天门）我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.解：AC⊥BD.证明如下：在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD，∴∠ABD=∠CBD.ABBCADCDBDBD，，，在△ABO和△CBO中，∴△ABO≌△CBO.∴∠AOB=∠COB.又∠AOB+∠COB=180°，∴∠AOB=90°.即AC⊥BD.ABBCABDCBDBOBO，，，三、综合开放性这类问题没有明确的条件，没有固定的结论，并且符合条件的结论具有多样性，解答时必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断.（2014·湖北襄阳）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC.（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程.【分析】（1）由①②，①③两个条件可以判定△ABC是等腰三角形.（2）先证明∠ABC=∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形.【解答】（1）①②；①③.（2）选①②证明如下：如图1，在△BOE和△COD中，∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，BE=CD，∴△BOE≌△COD，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB.即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.选①③证明如下：如图2，在△BOC中，∵OB=OC，∴∠1=∠2.∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠1=∠2+∠DCO.即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角证明∠ABC=∠ACB.