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数学专题三实际应用问题实际应用问题是以贴近现实生活中的话题为背景，以方案设计为目的，运用方程与不等式、函数与不等式或几何知识等来解决的一类实际生活中的问题，这类问题往往文字信息量大，背景复杂，要求学生具有较强的阅读、收集信息及建立模型的能力，从而运用相关知识解决问题．一次函数与不等式、方程(组)的应用【例1】(2015·福州)定义：长宽比为n：1(n为正整数)的矩形称为n矩形．下面我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH.操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，D分别落在边AB，CD上，折痕为EF.则四边形BCEF为2矩形．【例1】(2014·河南)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y与x的关系式；②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0＜m＜100)元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．分析：(1)根据题意列出方程组求解；(2)①根据题意直接写出；②利用不等式求出x的范围，根据函数的增减性确定y的最值情况；(3)根据题意得出新的解析式，分三种情况讨论：①当0＜m＜50时，②当m＝50时，③当50＜m＜100时，分别进行求解．解：(1)每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元(2)①y＝－50x＋15000②根据题意得100－x≤2x，解得x≥3313，∵y＝－50x＋15000，－50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，此时100－x＝66，即购进A型34台，B型66台销售利润最大(3)根据题意得y＝(100＋m)x＋150(100－x)，即y＝(m－50)x＋15000(3313≤x≤70)，①当0＜m＜50时，m－50＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝34时，y取得最大值，即购进A型34台，B型66台销售利润最大；②当m＝50时，m－50＝0，y＝15000，即商店购进A型电脑数量满足3313≤x≤70的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜100时，m－50＞0，y随x的增大而增大，∴x＝70时，y取得最大值，即购进A型70台，B型30台销售利润最大一次函数与二次函数的综合应用(含分段函数)【例2】(2015·嘉兴)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人．设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y＝54x（0≤x≤5），30x＋120（5≤x≤15）.(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？(2)如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为W元，求W关于x的函数关系式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)分析：(1)把y＝420代入y＝30x＋120，解方程即可求得；(2)根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于出厂价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答．解：(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知30n＋120＝420，解得n＝10，则第10天生产的粽子数量为420只(2)由图象得，当0≤x≤9时，p＝4.1；当9≤x≤15时，p＝0.1x＋3.2，①0≤x≤5时，W＝(6－4.1)×54x＝102.6x，当x＝5时，W最大＝513(元)；②5＜x≤9时，W＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x＋228，∵x是整数，∴当x＝9时，W最大＝741(元)；③9＜x≤15时，W＝(6－0.1x－3.2)×(30x＋120)＝－3x2＋72x＋336，∵a＝－3＜0，∴当x＝－b2a＝12时，W最大＝768(元)．综上，当x＝12时，W有最大值，最大值为7681．(2015·宁夏)某工厂为了新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：单价(元/件)3034384042销量(件)4032242016(1)计算这5天销售额的平均数；(销售额＝单价×销量)(2)通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y(件)与单价x(元/件)之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式；(不需要写出函数自变量的取值范围)(3)预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在(2)中的关系，且该产品的成本是20元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？解：(1)934.4元(2)y＝－2x＋100(3)设利润为W元，根据题意，得W＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－2000＝－2(x－35)2＋450，∴当x＝35时，W最大值为450，则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元/件2．(2015·济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．(1)若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？(2)在(1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0＜a＜20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？解：(1)设购进甲种服装x件，由题意可知80x＋60(100－x)≤7500，解得x≤75，则甲种服装最多购进75件(2)设总利润为W元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75，W＝(40－a)x＋30(100－x)＝(10－a)x＋3000.①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随x的增大而增大，所以当x＝75时，W有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；②当a＝10时，所有方案获利相同，所以按65≤x≤75的方案进货都可以；③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随x的增大而减小，所以当x＝65时，W有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件3.(2015·黄冈)黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．(1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱？(3)“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在(2)的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400元，求a的值．解：(1)∵120－x≤50，∴x≥70，①当70≤x≤100时，W＝70x＋80(120－x)＝－10x＋9600；②当100＜x＜120时，W＝60x＋80(120－x)＝－20x＋9600.综上所述，W＝－10x＋9600（70≤x≤100）－20x＋9600（100＜x＜120）(2)∵x≤100，∴W＝－10x＋9600，∵70≤x≤100，∴x＝70时，W最大＝8900(元)，两团联合购票需120×60＝7200(元)，∴最多可节约8900－7200＝1700(元)(3)∵x≤100，∴W＝(70－a)x＋80(120－x)＝－(a＋10)x＋9600，∴x＝70时，W最大＝－70a＋8900(元)，两团联合购票需120(60－2a)＝7200－240a(元)，∵－70a＋8900－(7200－240a)＝3400，∴a＝101．(2015·莆田)某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y1(张)与售票时间x(小时)的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售票时间x(小时)的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．(1)求图2中所确定抛物线的解析式；(2)若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？解：(1)设y2＝ax2，当x＝2时，y1＝y2＝40，把(2，40)代入y2＝ax2，得4a＝40，解得a＝10，∴y2＝10x2(2)先求出y1＝40x－40，当x＝3时，y1＝80，y2＝90，设需要开放m个普通售票窗口，则80m＋90×5≥900，解得m≥558，∵m取整数，∴m≥6，则至少需要开放6个普通售票窗2．(2015·荆门)甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套进价400元，每套单价500元，一年内可卖完，现市场上流行B品牌服装，每套进价300元，每套售价600元，但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装，一年内B品牌服装销售无积压，因甲经销商无流动资金，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售，经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数关系式为y＝－110x＋360(100≤x≤1200)，若甲经销商转让x套A品牌服装，一年内所获总利润为W(元)．(1)求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q1(元)与x(套)之间的函数关系式；(2)求B品牌服装的销售款Q2(元)与x(套)之间的函数关系式；(3)求W(元)与x(套)之间的函数关系式，并求W的最大值．解：(1)Q1＝500(1200－x)，即Q1＝－500x＋600000(100≤x≤1200)(2)Q2＝x·（－110x＋360）300×600，即Q2＝－15x2＋720x(100≤x≤1200)(3)W＝Q1＋Q2－400×1200，∴W＝－15x2＋220x＋120000(100≤x≤1200)，配方得W＝－15(x－550)2＋180500，当x＝550时，W有最大值，最大值为180500元3．(2015·齐齐哈尔)母亲节前夕，某淘宝店主准备从厂家购进A，B两种礼盒，已知A，B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元．(1)求A，B两种礼盒的单价分别是多少元？(2)该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？(3)根据市场行情，销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元，为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐献m元，每个A种礼盒的利润不变，在(2)的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？解：(1)设A种礼盒单价为2x元，B种礼盒单价为3x元，依题意得2x＋3x＝200，解得x＝40，则2x＝80，3x＝120，则A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元(2)设购进A种礼盒a个，B种礼盒b个，依题意得80a＋120b＝9600，a≤36，b≤2a，解得30≤a≤36，∵a，b的值均为整数，∴a的值为30，33，36，∴共有三种方案(3)设店主获利为W元，则W＝10a＋(18－m)b，由80a＋120b＝9600得a＝120－32b，则W＝(3－