2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第四章 第4讲 导数的实际应用 ：精品课件

第4讲导数的实际应用利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是：1．函数y＝1＋3x－x3有()DA．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析：y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，令y′＝0得x＝1，x＝－1，当x＜－1时，y′0；当－1＜x＜1时，y′0；当x＞1，y′＜0，∴x＝－1时，y极小＝－1，当x＝1时，y极大＝3，故选D.2．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()BA．e2B．eC.ln22D．ln23．一个物体作直线运动，其位移对时间的变化规律为s＝6t2－5t，则物体运动的初速度为________；加速度为_________.象限．－5m/s12ms－2图4－4－15．曲线y＝x3－2x2－4x＋2在点(1，－3)处的切线方程是______________.5x＋y－2＝04．函数y＝f(x)的图像过原点且它的导函数g＝f′(x)的图像是如图4－4－1所示的一条直线，则y＝f(x)图像的顶点在第___一考点1函数模型中的最优化问题例1：某学校拟建一座长60米，宽30米的长方形体育馆．按照建筑要求，每隔x米需打建一个桩位，每个桩位需花费4.5万元(桩位视为一点且打在长方形的边上)，桩位之间的x米墙面需花(2＋3x)x万元，在不计地板和天花板的情况下，当x为何值时，所需总费用最少？解析：由题意可知，需打260x＋1＋230x－1＝180x个桩位.墙面所需费用为：(2＋3x)x·180x＝180(2＋3x)，∴所需总费用y＝180x×92＋180×(2＋3x)＝18092x＋3x＋360(0＜x＜30)．令t＝92x＋3x，则t′＝－92x2＋32x＝3－332＋x322x2，当0＜x＜3时，t′＜0；当3＜x＜30时，t′＞0.∴当x＝3时，t取极小值为t＝92×3＋3×3＝92.而在(0,30)内极值点唯一，∴tmin＝92.∴当x＝3时，ymin＝180×92＋360＝1170(万元)．即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1170万元．这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是一个复合函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧，而运用导数知识，求复合函数的最值就变得非常简单．【互动探究】1．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升．解：(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝1128000x3－380x＋8·100x＝11280x2＋800x－154(0＜x≤120)，h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0＜x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升．考点2几何模型的最优化问题例2：用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解析：设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h＝18－12x4＝(4.5－3x)m0＜x＜32.故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m30＜x＜32.从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1.当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜23时，V′(x)＜0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3.【互动探究】2．当底面半径为R的圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高为()时，才能使所用材料最省？BA．RB．2RC．3RD．4R解析：S＝2πRh＋2πR2⇒h＝S－2πR22πR⇒V(R)＝S－2πR22πRπR2＝12(S－2πR2)R＝12SR－πR3.V′(R)＝0⇒S＝6πR2⇒6πR2＝2πRh＋2πR2⇒h＝2R.错源：新定义的边际函数理解不到位例3：某造船厂年造船量为20艘，造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)(利润＝产值－成本)；(2)问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大；(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间．误解分析：对新定义的边际函数理解不到位，导致建模困难，并容易忽略自变量的取值范围．纠错反思：认真审题，提取有用信息．正解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*,1≤x≤20)．MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，1≤x≤19)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，∵x0，∴P′(x)＝0时，x＝12，∴当0x12时，P′(x)0；当x12时，P′(x)0.∴x＝12时，P′(x)有最大值．即年造船量安排12艘船时，年利润最大．(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305，∴当x≥1时，MP(x)单调递减，单调减区间是[1,19]，且x∈N*.【互动探究】证明：不妨设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝(ex)′－(x)′＝ex－1.∵x0，∴ex1，ex－10.∴f′(x)0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴f(x)f(0)，即ex－x－1e0－1＝0.∴exx＋1.3．当x0时，求证：exx＋1.例4：(2010年江苏)将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝梯形的周长2梯形的面积，则S的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S＝3－x212·x＋1·32·1－x＝43·3－x21－x2(0＜x＜1)方法一：利用导数求函数最小值．S(x)＝43·3－x21－x2，S′(x)＝43·2x－6·1－x2－3－x2·－2x1－x22＝43·－23x－1x－31－x22S′(x)＝0,0＜x＜1，x＝13，当x∈0，13时，S′(x)＜0，递减；当x∈13，1时，S′(x)＞0，递增；故当x＝13时，S的最小值是3233.方法二：利用函数的方法求最小值．令3－x＝t，t∈(2,3)，1t∈13，12，则：S＝43·t2－t2＋6t－8＝43·1－8t2＋6t－1.故当1t＝38，x＝13时，S的最小值是3233.【互动探究】4．(2011年湖南3月模拟)某租赁公司拥有汽车50辆，当每辆车的月租金为1000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月要维修费150，未租出的车每辆每月需要维修费50元．(1)当每辆车的月租金定为1600时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，出租车公司的月收益最大？解：(1)1600－100050＝12(辆)，即有12辆车没有租出去，所以当每辆车的月租金为1600元时，能租出50－12＝38辆车．(2)设有x辆汽车没有租出去，则月收益函数F(x)＝(1000＋50x)(50－x)－150(50－x)－50x＝－50x2＋1600x＋42500(0≤x＜50)，又有F′(x)＝－100x＋1600＝0，得x＝16.即当0≤x＜16时，F′(x)＞0；当16＜x＜50时，F′(x)＜0.所以x＝16是F(x)的极大值点，同时也是最大值点，所以把租金定为1000＋16×50＝1800元时，收入最大．导数的实际应用(1)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤优化问题可归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．用导数解决优化问题，即求实际问题中的最大(小)值的主要步骤如下：①分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，即将优化问题归结为函数最值问题；②求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值大小，最大者为最大值，最小者为最小值；④检验作答，即获得优化问题的答案．(2)利用导数解决生活中的优化问题的注意事项①在解决实际优化问题时，不仅要将问题中涉及的变量关系用函数表示，而且应注意确定该函数的定义域；②在实际优化问题中，会遇到函数在定义域内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数f(x)在这点有极值，则该极值就是所求的最大(小)值；③在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的解应舍去！