2015年高二数学学业水平测试题复习

2015高中部[高二数学学业水平测试]专题训练121．已知向量a与b的夹角为120，且1ab，则－ab等于A．1B．3C．2D．32．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm），则该几何体的表面积．．．为A．212cmB.215cmC.224cmD.236cm3．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为A．378B．34C．74D．184．设不等式组0,02036xyxyxy≤≥≥，表示的平面区域为D，若直线0kxyk上存在区域D上的点，则k的取值范围是．5．如图1，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAAB，点E是PD的中点．（1）求证：PB平面ACE；（2）若四面体EACD的体积为23，求AB的长．65主视图65侧视图俯视图图2ABCDPE图136.已知数列{}na满足11a，*12(,)nnnaanN为常数，且1a，22a，3a成等差数列.（1）求的值；（2）求数列{}na的通项公式；（3）设数列{}nb满足23nnnba，求证：169nb.7．直线ykxb与圆224xy交于A、B两点，记△AOB的面积为S（其中O为坐标原点）．（1）当0k，02b时，求S的最大值；（2）当2b，1S时，求实数k的值．48．已知函数213fxaxxaaR在区间1,1上有零点，求实数a的取值范围．参考答案：1-3BCB4．122，5．（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO，因为ABCD是正方形，所以点O是BD的中点．因为点E是PD的中点，所以EO是△DPB的中位线．所以PBEO．因为EO平面ACE，PB平面ACE，所以PB平面ACE．（2）解：取AD的中点H，连接EH，因为点E是PD的中点，所以EHPA．因为PA平面ABCD，所以EH平面ABCD．ABCDPEOOH5设ABx，则PAADCDx，且1122EHPAx．所以13EACDACDVSEH1132ADCDEH3111262123xxxx．解得2x．故AB的长为2．6.(1)∵1a，2+2a，3a成等差数列，∴2132+2=+aaa（1）∵+1=+2nnnaanN，那么21=+2aa（2）32=+4aa（3）将（2），（3）代入（1），得21221112+4=++4+4=+4+2+4=+42+4=42=4=2aaaaaaa∴将=2代入+1=+2nnnaa，得+1+1=+2nnnaa，即+1+12nnnaa22133244312222nnnaaaaaaaa以上列等式的左边叠加得21324311nnnaaaaaaaaaa以上列等式的右边叠加得21234121222222412nnn即1124nnaa，又∵11a，∴1112423nnnaa检验知111231a也成立，故通项公式为1112423nnnaa（2）∵22211032332nnnnnnnba22221111111222222111222221111111222nnnnnnnnnbnbnnnnnnn6∵21112n在nN上单调递减，且当2n时，211112n，即11nnbb，∴123bbb当3n时，211112n，即11nnbb，∴345bbb可知数列nb中3b为最大项，而233139162b，∴916nb7．解：（1）当0k时，直线方程为yb，设点A的坐标为1()xb，，点B的坐标为2()xb，，由224xb，解得2124xb，，所以22124ABxxb．所以12SABb24bb22422bb≤．当且仅当24bb，即2b时，S取得最大值2．（2）设圆心O到直线2ykx的距离为d，则221dk．因为圆的半径为2R，所以2222244211ABkRdkk．于是222241212111kkSABdkkk，即2410kk，解得23k．故实数k的值为23，23，23，23．8．解法1：当0a时，1fxx，令0fx，得1x，是区间1,1上的零点．当0a时，函数fx在区间1,1上有零点分为三种情况：7①方程0fx在区间1,1上有重根，令14130aa，解得16a或12a．当16a时，令0fx，得3x，不是区间1,1上的零点．当12a时，令0fx，得1x，是区间1,1上的零点．②若函数yfx在区间1,1上只有一个零点，但不是0fx的重根，令114420ffaa≤，解得102a≤．③若函数yfx在区间1,1上有两个零点，则.01-,01,1211,01412,02ffaaaa或.01-,01,1211,01412,02ffaaaa解得a．综上可知，实数a的取值范围为10,2．解法2：当0a时，1fxx，令0fx，得1x，是区间1,1上的零点．当0a时，213fxaxxa在区间1,1上有零点231xax在区间1,1上有解213xax在区间1,1上有解．问题转化为求函数213xyx在区间1,1上的值域．设1tx，由1,1x，得0,2t．且2013tyt．而214132tyttt．设4gttt，可以证明当0,2t时，gt单调递减．8事实上，设1202tt，则121212121212444ttttgtgttttttt，由1202tt，得120tt，1204tt，即120gtgt．所以gt在0,2t上单调递减．故24gtg．所以1122ygt．故实数a的取值范围为10,2．