数值传热学2

1/41MOEKLTFSE主讲陶文铨数值传热学(NumericalHeatTransfer)第二章计算区域及控制方程的离散西安交通大学能源与动力工程学院热流科学与工程教育部重点实验室CFD-NHT-EHTCENTER2011年9月19日,西安2/41MOEKLTFSE2.1网格生成（区域离散化）2.2建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟合法2.3建立离散方程的控制容积法及平衡法第2章教学目录3/41MOEKLTFSE2.1网格生成（区域离散化）2.1.1区域离散化的任务及方法分类2.1.3不同区域离散方法简介2.1.4结构化网格内接点与外节点法的比较2.1.2网格系统表示方法2.1.5网格独立解4/41MOEKLTFSE2.1网格生成（区域离散化）2.1.1区域离散化的任务及方法分类1.区域离散化的任务将所计算的区域分割成许多不重叠的子区域，确定每个子区域中节点的位置以及所代表的控制容积。离散结果得出五种几何信息：(1)节点（node):所求解未知量的位置；(2)控制容积（controlvolume):实施守恒定律的最小几何单位；(3)界面（interface):控制容积的分界位置;5/41MOEKLTFSE(4)网格线（gridlines):沿坐标方向相邻节点连接成的曲线簇。2.区域离散方法分类(1)按照节点间的关系：结构化网格与非结构化网格。(2)按照节点的位置：内接点法与外界点法。2.1.2网格系统表示方法网格线－节点间连线，用实线表示；界面为虚线；x节点间距离－x；界面间距离－。(5)节点间相互关系:记录每个节点的左邻右舍。（节点之间的相互影响在方程离散步骤中确定）。6/41MOEKLTFSE2.1.3区域离散方法简介（1）结构化网格(structuredgrid)：节点位置排列有序，邻点间连接关系的模式固定不变。界面网格线节点间距界面间距7/41MOEKLTFSE（2）非结构化网格(unstructuredgrid)：节点位置排列无序，邻点间无固定的连接关系模式，邻点间的连接关系的生成与存储是网格生成的主要内容。结构化网格（a)结构化网格（b)非结构化网格5个单元6个单元8/41MOEKLTFSE结构化与非结构化均有内接点与外节点两种布置。（3）结构化网格的内接点与外节点法(a)外节点法：节点位于子区域的角顶；控制容积界面位于两节点之间；生成过程：先节点后界面；又称PracticeA，又称单元顶点法（cell-vertex）。子区域控制容积9/41MOEKLTFSE(b)内节点法：节点位于子区域的中心；子区域即为控制容积；生成过程：先界面，后节点，又称PracticeB,又称单元中心法（cell-centered）。子区域即为控制容积10/41MOEKLTFSE内节点法网格生成过程11/41MOEKLTFSE边界节点代表半个CV边界节点代表零个CV(b)网格非均分时节点作为控制容积的代表方法B更合理方法B方法A方法B方法A2.1.4结构化网格内节点与外节点法的比较(a)边界节点所代表的控制容积不同12/41MOEKLTFSE(c)网格非均分时，方法A可以保证界面导数的离散精度()()EPeexx()()EPeexx可以保持二阶精度低于二阶精度界面位于两节点之间界面偏离两节点中间位置13/41MOEKLTFSE2.1.5网格独立解实际计算时，网格生成并非一蹴而就，要经过反复调试与比较；复杂区域的网格生成可能占总计算时间的大部分,网格的质量对计算的精度有影响较大。网格生成方法已成为数值计算中相对独立的部分，称为网格生成技术(gridgenerationtechnique)；当网格足够细密以至于再进一步加密网格已对数值计算结果基本上没有影响时所得到的数值解称为网格独立解（grid-independentsolution)。14/41MOEKLTFSEInt.JournalNumericalMethodsinFluids,1998,28:1371-1387。Int.JournalHeat&FluidFlow,1993,14(3):246-253。15/41MOEKLTFSEFp02000040000600008000010000019202122232425142×32×20142×22×10142×12×10NuGridsnumber78×12×10InternationalJournalofHeatMassTransfer,2007,50:1163-117516/41MOEKLTFSE2.2建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟合法2.2.1一维模型方程2.2.2由Taylor展开法导出导数的差分表示式2.2.3一维模型方程的有限差分离散表示式2.2.4由多项式拟合法导出导数的差分表示式17/41MOEKLTFSE2.2建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟合法2.2.1一维模型方程（1-Dmodelequation）一维模型方程是一维非稳态有源项的对流-扩散方程，具有四个特征项，便于离散方法的研讨。非守恒型守恒型()()uStxxx()()()uStxxxFDM采用FVM采用“麻雀虽小，五脏俱全！”源项瞬态对流扩散18/41MOEKLTFSE2.2.2由Taylor展开法导出导数的差分表示式1.一阶导数的差分表达式对（i,n)点做Taylor展开：22,2,2(1,)(,))....2!).ininxininxxxx2,,2(1,)(,))()...2ininininxxxx(,)xt将函数在（i+1,n)的值t19/41MOEKLTFSE,(1,)(,))()inininOxxx()Ox称为截断误差,truncationerror，表示：x的方次称为截差的阶数（orderofTE)。,)inx(1,)(,)ininxx随的趋于零，用代替的误差Kx，Kx与无关。1,),()nniiinOxxx得向前差分：用数值计算的近似解ni代替精确解(,)in20/41MOEKLTFSE向后差分：1,),()nniiinOxxx中心差分：11,2),()2nniiinOxxx2.一、二阶导数的各种差分表达式。表达差分结构的格式图案（stencil)构筑差分表达式的位置；构筑差分表达式所用到的节点。21/41MOEKLTFSE教材表2-122/41MOEKLTFSE定性判别导数的差分表达式正确与否的方法：（1)量纲是否正确－与导数本身一致；（2)均匀场的各阶导数应为零。RuleofThumb23/41MOEKLTFSE2.2.3一维模型方程的有限差分离散表示式1.非稳态问题空间导数差分的计算时层显式explicit()OtC-N格式Crank-Nicolson2()Ot隐式implicit()OtTaylor展开点t24/41MOEKLTFSE2.一维模型方程的显式格式11111222(2,,)nnnniiiinnnniiiiuSxxtxOt2(,1)(,)(1,)(1,)2(1,)2(,)(1,)(,)HOininininutxinininSinxT精确形式差分表达式差分方程截断误差(20110914)25/41MOEKLTFSE2.2.4由多项式拟合法导出导数的差分表示式对函数的局部变化型线作出假设，导出差分表达式。1.设局部型线为线性函数－可导出一阶截差表达式0(,)xxtabx原点设在0x处，则1,,nniiaabxbx1nniix1niax26/41MOEKLTFSE2.设局部型线为二次函数－可导出二阶截差表达式20(,)xxtabxcx原点设在处，则0x21,niabxcx21niabxcx,nia111122,22nnnnniiiiibcxx11,2nniibxx2112222,nnniiicxx27/41MOEKLTFSE3.多项式拟合方法多用于边界条件处理例题2－1已知：温度,1,2,3,,iiiTTT导出y向具有二阶截差的边界热流表达式。解：设y＝0处温度呈二次曲线2(,),Txyabycy3()Oy22,1,2,3,,24iiiTaTabycyTabycy由此得：,1,2,3342iiiTTTby0,1,2,3)(34)2byiiiTqbTTTyy-解出：2,()Oy28/41MOEKLTFSE2.3.1控制容积积分法实施步骤2.3建立离散方程的控制容积法及平衡法2.3.2两种常用型线2.3.3一维模型方程的控制容积积分法离散2.3.4FVM中型线假设的讨论2.3.5平衡法导出离散方程2.3.6两类导出离散方程方法的比较29/41MOEKLTFSE2.3建立离散方程的控制容积法及平衡法2.3.1控制容积积分法实施步骤1.将守恒型的方程对控制容积做积分；2.选定被求函数及其一阶导数对时间的变化型线；3.完成积分，整理成相邻节点间未知量的代数方程。(profile,shapefunction)2.3.2两种常用型线型线－被求函数随自变量的局部变化方式，型线本是所求的内容，近似求解需先假定。30/41MOEKLTFSE随空间自变量的变化型线分段线性piece-wiselinear阶梯逼近step-wiseapproximation型线型线31/41MOEKLTFSE随时间自变量的变化型线分段线性piece-wiselinear阶梯逼近step-wiseapproximation32/41MOEKLTFSE将守恒型控制方程对控制容积P在[t,t+]内做积分，t()()()uStxxx2.3.3一维模型方程的控制容积积分法离散立即可得()[()()]etttttewwtdxuudt[()()]tttteewttwdtSdxdtxx继续积分，需要知道：以及x对空间与时间的变化型线。33/41MOEKLTFSE1.非稳态项假设对空间呈阶梯型变化:()()ettttttPPwdxx2.对流项假设对时间呈显示阶梯型变化:[()()][()()]ttttewewtuudtuut34/41MOEKLTFSE假设对空间呈分段线性变化:[()()]ttewuut均分网格3.扩散项假设对时间呈显式阶梯型变化:x[()()][()()]ttttewewtdttxxxx假设对空间呈分段线性变化:进一步()222EPPWEWutut35/41MOEKLTFSE[()()][]()()ttEPPWewewttxxxx2EPWtx均分网格4.源项暂设源项对时间呈显式阶梯型/对空间呈阶梯型变化:()ttetPtwSdxdtSxtS为源项的空间平均值。36/41MOEKLTFSE22(,)22,tttttPPEWttttEPWOtutxxxS11111