数值分析习题集及答案

数值分析习题集（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）长沙理工大学第一章绪论1.设x0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.2.设x的相对误差为2％,求nx的相对误差.3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,71.0.xxxxx4.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,ixxxiixxxiiixx其中****1234,,,xxxx均为第3题所给的数.5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6.设028,Y按递推公式11783100nnYY(n=1,2,…)计算到100Y.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y将有多大误差?7.求方程25610xx的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).8.当N充分大时,怎样求211Ndxx?9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10.设212Sgt假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.11.序列{}ny满足递推关系1101nnyy(n=1,2,…),若021.41y(三位有效数字),计算到10y时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算6(21)f,取21.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?36311,(322),,99702.(21)(322)13.2()ln(1)fxxx,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式22ln(1)ln(1)xxxx计算,求对数时误差有多大?14.试用消元法解方程组101012121010;2.xxxx假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15.已知三角形面积1sin,2sabc其中c为弧度,02c,且测量a,b,c的误差分别为,,.abc证明面积的误差s满足.sabcsabc第二章插值法1.根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11nnnnnnnnnxxxVxVxxxxxxxxxx证明()nVx是n次多项式,它的根是01,,nxx,且101101()(,,,)()()nnnnVxVxxxxxxx.2.当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式.3.给出f(x)=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值.x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444.给出cosx,0°≤x≤90°的函数表,步长h=1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界.5.设0kxxkh,k=0,1,2,3,求032max()xxxlx.6.设jx为互异节点(j=0,1,…,n),求证:i)0()(0,1,,);nkkjjjxlxxknii)0()()1,2,,).nkjjjxxlxkn7.设2(),fxCab且()()0fafb,求证21()()().8maxmaxaxbaxbfxbafx8.在44x上给出()xfxe的等距节点函数表,若用二次插值求xe的近似值,要使截断误差不超过610,问使用函数表的步长h应取多少?9.若2nny,求4ny及4ny.10.如果()fx是m次多项式,记()()()fxfxhfx,证明()fx的k阶差分()(0)kfxkm是mk次多项式,并且()0(mlfxl为正整数).11.证明1()kkkkkkfgfggf.12.证明1100100.nnkknnkkkkfgfgfggf13.证明1200.njnjyyy14.若1011()nnnnfxaaxaxax有n个不同实根12,,,nxxx,证明10,02;,1.1()nknjknaknjjxfx15.证明n阶均差有下列性质:i)若()()Fxcfx,则0101,,,,,,nnFxxxcfxxx;ii)若()()()Fxfxgx,则010101,,,,,,,,,nnnFxxxfxxxgxxx.16.74()31fxxxx,求0172,2,,2f及0182,2,,2f.17.证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)kkkkRxfxxxxxx并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18.求一个次数不高于4次的多项式()Px,使它满足(0)(1)PPk并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()Px,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0PP,(1)(1)1PP,(2)1P.20.设(),fxCab,把,ab分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()nx并证明当n时,()nx在,ab上一致收敛到()fx.21.设2()1/(1)fxx,在55x上取10n,按等距节点求分段线性插值函数()hIx,计算各节点间中点处的()hIx与()fx的值,并估计误差.22.求2()fxx在,ab上的分段线性插值函数()hIx,并估计误差.23.求4()fxx在,ab上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24.给定数据表如下:jx0.250.300.390.450.53jy0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值()Sx并满足条件i)(0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SSii)(0.25)(0.53)0.SS25.若2(),fxCab,()Sx是三次样条函数,证明i)222()()()()2()()()bbbbaaaafxdxSxdxfxSxdxSxfxSxdx;ii)若()()(0,1,,)iifxSxin,式中ix为插值节点,且01naxxxb,则()()()()()()()()()baSxfxSxdxSbfbSbSafaSa.26.编出计算三次样条函数()Sx系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()Sx可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1.(a)利用区间变换推出区间为,ab的伯恩斯坦多项式.(b)对()sinfxx在0,/2上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.2.求证:(a)当()mfxM时,(,)nmBfxM.(b)当()fxx时,(,)nBfxx.3.在次数不超过6的多项式中,求()sin4fxx在0,2的最佳一致逼近多项式.4.假设()fx在,ab上连续,求()fx的零次最佳一致逼近多项式.5.选取常数a,使301maxxxax达到极小,又问这个解是否唯一?6.求()sinfxx在0,/2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7.求()xfxe在0,1上的最佳一次逼近多项式.8.如何选取r,使2()pxxr在1,1上与零偏差最小?r是否唯一?9.设43()31fxxx,在0,1上求三次最佳逼近多项式.10.令()(21),0,1nnTxTxx,求***0123(),(),(),()TxTxTxTx.11.试证*()nTx是在0,1上带权21xx的正交多项式.12.在1,1上利用插值极小化求11()fxtgx的三次近似最佳逼近多项式.13.设()xfxe在1,1上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()nLx,若nfL有界,证明对任何1n,存在常数n、n,使11()()()()(11).nnnnnTxfxLxTxx14.设在1,1上234511315165()128243843840xxxxxx,试将()x降低到3次多项式并估计误差.15.在1,1上利用幂级数项数求()sinfxx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16.()fx是,aa上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,()fx的最佳逼近多项式*()nnFxH也是奇(偶)函数.17.求a、b使220sinaxbxdx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18.()fx、1(),gxCab,定义()(,)()();()(,)()()()();bbaaafgfxgxdxbfgfxgxdxfaga问它们是否构成内积?19.用许瓦兹不等式(4.5)估计6101xdxx的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20.选择a,使下列积分取得最小值:1122211(),xaxdxxaxdx.21.设空间10010121,,,spanxspanxx,分别在1、2上求出一个元素,使得其为20,1xC的最佳平方逼近,并比较其结果.22.()fxx在1,1上,求在2411,,spanxx上的最佳平方逼近.23.2sin(1)arccos()1nnxuxx是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系112nnnuxxuxux.24.将1()sin2fxx在1,1上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25.把()arccosfxx在1,1上展成切比雪夫级数.26.用最小二乘法求一个形如2yabx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.ix1925313844iy19.032.349.073.397.827.观测物体的直线运动,得出以下数据:时间t(秒)00.91.93.03.95.0距离s(米)010305080110求运动方程.28.在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间0510152025303540455055浓度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘拟合求()yft.29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30.编出改进FFT算法的程序框图.31.现给出一张记录4,3,2,1,0,1,2,3kx,试用改进FFT算法求出序列kx的离散频谱kC(0,1,,7).k第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh;(2)21012()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh;(3)1121()(1)2()3()/3fxdxffxfx;(4)20()(0)()/1(0)()hfxdxhffhahffh.2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdxnx;(2)1210(1),10xedxnx;(3)91,4xdxn;(4)260sin,6dxn.3.直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4.用辛普森