文科立体几何知识点、方法总结高三复习

1/9γmβαllαβ立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1.线面平行αl符号表示：2.线面相交αAl符号表示：3.线在面内αl符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll////方法二：用面面平行实现。mlml////方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml//。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。////llmml方法二：用面面平行实现。////ll方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量，ln且l,则//l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。//',','//'//且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。//,////且相交mlml三．垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。llmlm,nαlm'l'lαβmmβαlABCαllβαmlm2/92.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml。三．夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1)范围：]90,0((2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：abcba2cos222(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二)线面角(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。AOθPα(2)范围：]90,0[当0时，l或//l当90时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。nmlP(2)范围：]180,0[(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。lβαmαlθcbaABCθnAOθPαlAOPα3/9步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。θAOPαβ方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。θn1n2步骤一：计算121212cosnnnnnn步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。四．距离问题。1．点面距。方法一：几何法。OAP步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2．线面距、面面距均可转化为点面距。3．异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图，m和n为两条异面直线，n且//m，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcbam'DCBAmn如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，'//mm，则异面直线m和n之间的距离为：cos2222abbacdABCD1A1C1B4/9高考题典例考点1点到平面的距离例1如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB的大小；（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．解答过程（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，AO⊥平面11BCCB．连结1BO，在正方形11BBCC中，OD，分别为1BCCC，的中点，1BOBD⊥，1ABBD⊥．在正方形11ABBA中，11ABAB⊥，1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD⊥于F，连结AF，由（Ⅰ）得1AB⊥平面1ABD．1AFAD⊥，AFG∠为二面角1AADB的平面角．在1AAD△中，由等面积法可求得455AF，又1122AGAB，210sin4455AGAFGAF∠．所以二面角1AADB的大小为10arcsin4．（Ⅲ）1ABD△中，1115226ABDBDADABS△，，，1BCDS△．在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距离为3．设点C到平面1ABD的距离为d．由11ABCDCABDVV，得111333BCDABDSSd△△，1322BCDABDSdS△△．点C到平面1ABD的距离为22．考点2异面直线的距离ABCD1A1C1BOF5/9例2已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求CD与SE间的距离.解答过程：如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，EF为BCD的中位线，EF∥CDCD,∥面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h，由题意知，24BC,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS在RtSCE中，3222CESCSE在RtSCF中，30224422CFSCSF又3,6SEFSEF由于hSVVSEFCEFSSEFC31，即332331h，解得332h故CD与SE间的距离为332.考点3直线到平面的距离例3．如图，在棱长为2的正方体1AC中，G是1AA的中点，求BD到平面11DGB的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一BD∥平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点O平面11DGB的距离,1111CADB，AADB111，11DB平面11ACCA,又11DB平面11DGB平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1,BACDOGH1A1C1D1B1O6/9作GOOH1于H，则有OH平面11DGB，即OH是O点到平面11DGB的距离.在OGO1中，222212111AOOOSOGO.又362,23212111OHOHGOOHSOGO.即BD到平面11DGB的距离等于362.解析二BD∥平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点B平面11DGB的距离.设点B到平面11DGB的距离为h，将它视为三棱锥11DGBB的高，则，由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV34222213111GBBDV,,36264h即BD到平面11DGB的距离等于362.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4异面直线所成的角例4如图，在RtAOB△中，π6OAB，斜边4AB．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中点．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．解答过程：（I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD．平面COD平面AOB．（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO∥，OCADBEOADByz7/9CDE是异面直线AO与CD所成的角．在RtCOE△中，2COBO，112OEBO，225CECOOE．又132DEAO．在RtCDE△中，515tan33CECDEDE．异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3．小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0.考点5直线和平面所成的角例5.四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知45ABC∠，2AB，22BC，3SASB．（Ⅰ）证明SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．解答过程：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SASB，所以AOBO，又45ABC∠，故AOB△为等腰直角三角形，AOBO⊥，由三垂线定理，得SABC⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC⊥，依题设ADBC∥，故SAAD⊥，由22ADBC，3SA，2AO，得1SO，11SD．SAB△的面积22111222SABSAAB．连结DB，得DAB△的面积21sin13522SABAD设D到平面SAB的距离为h，由于DSABSABDVV，得121133hSSOS，解得2h．设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD．所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11．小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平DBCASODBCAS8/9面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.考点6二面角例6．如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30．（I）证明BCPQ⊥（II）求二面角BACP的大小．过程指引：（I）在平面内过点C作COPQ⊥于点O，连结OB．因为⊥，PQ，所以CO⊥，又因为CACB，所以OAOB．而45BAO，所以45ABO，90AOB，从而BOPQ⊥，又COPQ⊥，所以PQ⊥平面OBC．因为BC平面OBC，故PQBC⊥．（II）由（I）知，BOPQ⊥，又⊥，PQ，BO，所以BO⊥．过点O作OHAC⊥于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC⊥．故BHO是二面角BACP的平面角．由（I）知，CO⊥，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO，不妨设2AC，则3AO，3sin302OHAO．在RtOAB△中，45ABOBAO，所以3BOAO，于是在RtBOH△中，3tan232BOBHOOH．故二面角BACP的大小为arctan2．小结：本题是一个无棱二