高中数学(人教A版)选修2-3之 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？二项式系数有什么特点？展开式中的二项式系数，如下表所示：nba)(11121133114641151010511)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba()nab………………0111CC012222CCC01233333CCCC0123444444CCCCC012345555555CCCCCC0121......rnnnnnnnnCCCCCC二项式系数(a+b)1………………………11(a+b)2…………………121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………………………rnrnrnCCC11mnnmnCC递推法二项式系数的特点十五一一一一一一一二十六六十五一一一一一一二三三四四六五十十五本积商除平方立方三乘四乘五乘左积右积之除而实命方商乘廉以廉皆者藏中算隅乃裘右数积乃裘左13.1图这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：nba)(nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：rnC)(rfn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n二项式系数的性质2．二项式系数的性质（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr二项式系数的性质（2）增减性与最大值kknkkknnnnknkn1C)!1()1()2)(1(C1由于：所以相对于的增减情况由决定．knC1Cknkkn1二项式系数的性质（2）增减性与最大值由：2111nkkkn二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。21nk可知，当时，二项式系数的性质（2）增减性与最大值当n为偶数时，中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2同时由于，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式．一般地，展开式的二项式系数有如下性质：nba)(（1）nnnnCCC,,10mnnmnCC（2）（3）当时，（4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC当时，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210初步训练、选择填空：1.(1﹣x)13的展开式中系数最小的项是（）(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）(A)20(B)219（C）220(D)220－1CDmCC.mnn同时有最大值，则与若1934或5课堂练习：1）已知，那么=；2）的展开式中，二项式系数的最大值是；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；591515,CaCb1016C9()ab()nab例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．nba)(0112220123,1,1,111,nnnnnnnnnnnnnnnnnnabCaCabCabCbabCCCCC证明在展开式中令则得,CCCC03n1n2n0n即3n1n2n0nCCCC所以nxx)2(34项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项．例2已知的展开式中，第例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。(12)nx变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.4167()xy321()nxx例4、若展开式中前三项系数成等差数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。42xn1(x+)1、已知的展开式中x3的系数为，则常数a的值是_______92xxa942、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（）A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4.已知(1+)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.x2作业作业本1.3.2（1）（1）二项式系数的三个性质。（2）数学思想：函数思想。a单调性；b图象；c最值。（3）数学方法：赋值法、递推法研究题：求二项式(x+2)7展开式中系数最大的项，试归纳出求形如(ax+b)n展开式中系数最大项的方法或步骤。各二项式系数的和增减性与最大值对称性小结二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结