搜索
1数列1．1数列的概念预习课本P3～6，思考并完成以下问题(1)什么是数列？数列的项指什么？(2)数列的一般表示形式是什么？(3)按项数的多少，数列可分为哪两类？(4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？[新知初探]1．数列的概念(1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列．(2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an…，简记为数列{an}．数列的第1项a1，也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．[点睛](1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置．(2)项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．(3){an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项．2．数列的分类项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．23．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作数列{an}的通项公式．[点睛](1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．4．数列的表示方法数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同一数列的任意两项均不可能相同．()(2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．()(3)数列中的每一项都与它的序号有关．()答案：(1)×(2)×(3)√2．已知数列{an}的通项公式为an＝1－－1n＋12，则该数列的前4项依次为()A．1,0,1,0B．0,1,0,1C.12，0，12，0D．2,0,2,0解析：选B把n＝1,2,3,4分别代入an＝1－－1n＋12中，依次得到0,1,0,1.3．已知数列{an}中，an＝2n＋1，那么a2n＝()A．2n＋1B．4n－1C．4n＋1D．4n解析：选C∵an＝2n＋1，∴a2n＝2(2n)＋1＝4n＋1.4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x的值是()A．12B．13C．15D．16解析：选C∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，∴x－10＝5，21－x＝6，∴x＝15.数列的概念与分类[典例]下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6.[解](1)是集合，不是数列；3(2)(3)(4)(5)是数列．其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．数列分类的判断方法判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．[活学活用]下列说法中，正确的是()A．数列0,2,4,6可表示为{0,2,4,6}B．数列1,3,5,7,9，…的通项公式可记为an＝2n＋1C．数列2013,2014,2015,2016与数列2016,2015，2014，2013是相同的数列D．数列{an}的通项公式an＝n＋2017n＋2016，则它的第k项是1＋1k＋2016解析：选D数列与数的集合的概念不同，A不正确；当n∈N＋时，没有第一项1，所以B不正确；C中两个数列中数的排列次序不同，故是不同的数列，所以选D.根据数列的前几项写出数列的通项公式[典例]分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出．(1)22－12，32－13，42－14，52－15，…；(2)－12，16，－112，120，…；(3)0.9,0.99,0.999,0.9999，….[解](1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1.分子中的22,32,42,52恰是分母的平方，－1不变，故它的一个通项公式为an＝n＋12－1n＋1.(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子(－1)n，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为1×2,2×3,3×4,4×5，则它的一个通项公式为an＝(－1)n1nn＋1.(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001,0．9999＝1－0.0001，而0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.0001＝10－4，∴它的一个通项公式为an＝1－10－n.由数列的前几项求通项公式的解题策略(1)负号用(－1)n与(－1)n＋1(或(－1)n－1)来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项要充分借助分子、分母的关系．4(3)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化等方法．[活学活用]写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)112，223，334，445，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为an＝n22.(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为nn＋1，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋nn＋1＝n2＋2nn＋1.利用通项公式确定数列的项[典例]已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，应是第几项？若不是，请说明理由．[解](1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，解得n＝7，或n＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，解得n＝－2，或n＝343.∵－2∉N＋，343∉N＋，∴68不是该数列的项．(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，5就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项列方程．若方程的解为正整数，则是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项．[活学活用]已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．(1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？解：(1)由题设条件，知an＝n＋2n.∴a4＝4＋2×4＝10，a25＝25＋2×25＝55.(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n＋2n，解得n＝121.∴253是这个数列的第121项．假设153是这个数列中的项，则153＝n＋2n，解得n＝7214，这与n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．层级一学业水平达标1．数列的通项公式为an＝3n＋1，n为奇数，2n－2，n为偶数，则a2·a3等于()A．70B．28C．20D．8解析：选C由an＝3n＋1，n为奇数，2n－2，n为偶数，得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.2．下列叙述正确的是()A．同一个数在数列中可能重复出现B．数列的通项公式是定义域为正整数集N＋的函数C．任何数列的通项公式都存在D．数列的通项公式是唯一的解析：选A数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限子集，选项B错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C错误；数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，选项D错误．故选A.3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的()A．第5项B．第6项C．第7项D．非任何一项解析：选C由n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．4．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝(－1)n(1－2n)C．an＝(－1)n(2n－1)D．an＝(－1)n(2n＋1)6解析：选B当n＝1时，a1＝1排除C、D；当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B.5．在数列－1,0，19，18，…，n－2n2，…中，0.08是它的()A．第100项B．第12项C．第10项D．第8项解析：选C由an＝n－2n2，令n－2n2＝0.08，解得n＝10或n＝52(舍去)．6．数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式为________．解析：由a1＝20，a2＝21，a3＝22，a4＝23，…易得an＝2n－1.答案：an＝2n－17．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．解析：由题意知，数列的通项公式an＝n(n＋1)，令an＝n(n＋1)＝600，解得n＝24或n＝－25(舍去)．答案：248．已知曲线y＝x2＋1，点(n，an)(n∈N＋)位于该曲线上，则a10＝________.解析：∵点(n，an)位于曲线y＝x2＋1上，∴an＝n2＋1，故a10＝102＋1＝101.答案：1019．根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项．(1)an＝n2－12n－1；(2)an＝sinnπ2；(3)an＝2n＋1.解：(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为0,1，85，157，83.(2)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为1,0，－1,0,1.(3)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为3,5,9,17,33.10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2016；(3)2014是否为数列{an}中的项？解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有k＋b＝2，17k＋b＝66，解得k＝4，b＝－2.∴an＝4n－2.(2)a2016＝4×2016－2＝8062.(3)令2014＝4n－2，解得n＝504∈N＋，∴2014是数列{an}的第504项．层级二应试能力达标1．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是()7A．an＝n2[1＋(－1)n]B．an＝n＋12[1＋(－1)n＋1]C．an＝n2[1＋(－1)n＋1]D．an＝n＋12[1＋(－1)n]解析：选B经验证可知B符合要求．2．已知数列2，－5,10，－17,26，－37，…，则下列选项能表示数列的通项公式的是()A．an＝(－1)nn2＋1B．an＝(－1)n＋1(n2＋1)C．an＝(－1)n(n2＋1)D．an＝(－1)n＋1(n2－1)解析：选B通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1，且奇数项是正的，偶数项是负的，∴通项可以写成an＝(－1)n＋1(n2＋1)．3．数列2，5，22，11，…，则25是该数列的()A．第6项B．第7项C．第10项D．第11项解析：选B数列2，5，22，11，…的一个通项公式为an＝3n－1(n∈N＋)，令25＝3n－1，得n＝7.故选B.4．设an＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N＋)，那么an＋1－an等于()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2解析：选D∵an＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n，∴an＋1＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12