高中数学第二章随机变量及其分布章末复习学案

1第二章随机变量及其分布1．离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X，Y，ξ，η，…等表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②∑ni＝1pi＝1.(5)常见的分布列：2两点分布：如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率.X01P1－pp两点分布又称0－1分布，伯努利分布．超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，即X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．2．二项分布及其应用(1)条件概率：一般地，设A和B是两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．(2)条件概率的性质：①0≤P(B|A)≤1；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)事件的相互独立性：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也都相互独立．(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(5)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．3．离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为3Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，D（X）为随机变量X的标准差．(2)均值与方差的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．②二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．4．正态分布(1)正态曲线与正态分布：①正态曲线：我们把函数φμ，σ(x)＝12π·σe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)(其中μ是样本均值，σ是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．②正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．(2)正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则.题型一条件概率的求法求条件概率的主要方法：(1)利用条件概率：P(B|A)＝P（AB）P（A）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P(B|A)＝n（AB）n（A）.例1坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A27＝42.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A14×A16＝24.于是P(A)＝n（A）n（Ω）＝2442＝47.(2)因为n(AB)＝A24＝12，所以P(AB)＝n（AB）n（Ω）＝1242＝27.(3)法一由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝P（AB）P（A）＝2747＝12.法二因为n(AB)＝12，n(A)＝24，所以P(B|A)＝n（AB）n（A）＝1224＝12.跟踪演练1一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品，从中取产品两次，5每次任取一只，作不放回抽样，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)．解将产品编号1，2，3号为一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取到第i号、第j号产品，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，…，(4，1)，(4，2)，(4，3)}A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)}AB＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}P(B|A)＝n（AB）n（A）＝23.题型二互斥事件、相互独立事件的概率求概率先转化为互斥事件概率的和，再运用相互独立事件的概率公式求解．例2国家射击队为备战2016年里约热内卢奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动．在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远处命中的概率为23.(1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率；(2)如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米(此后飞碟不在射程之内)．已知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率．解(1)记“队员甲在三次游戏中，第一次至少有一次命中”为事件A.P(A)＝1－P(A－)＝2627.(2)记“在一次游戏中，第i次击中飞碟”为事件Bi(i＝1，2，3)．P(B1)＝23，P(B2)＝23×(12)2＝16，P(B3)＝23×(13)2＝227.又Bi是相互独立事件，∴P(B)＝P(B1)＋P(B－1B2)＋P(B－1B－2B3)＝P(B1)＋P(B－1)·P(B2)＋P(B－1)·P(B－2)·P(B3)6＝23＋13×16＋13×56×227＝361486.跟踪演练2甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求前三局比赛甲队领先的概率．解单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4，记“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B，则：P(A)＝0.63＝0.216；P(B)＝C23×0.62×0.4＝0.432.∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)＋P(B)＝0.648.题型三离散型随机变量的分布列、期望与方差离散型随机变量的分布列是研究随机变量的期望和方差的基础，利用分布列还可以求随机变量在某个范围内取值的概率．例3(2013·山东理)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．解(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝(23)3＝827，P(A2)＝C23(23)2(1－23)×23＝827，P(A3)＝C24(23)2(1－23)2×12＝427所以，甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率分别是827，827，427；(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝C24(1－23)2(23)2×(1－12)＝427由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝1627，7P(X＝1)＝P(A3)＝427，P(X＝2)＝P(A4)＝427，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝327故X的分布列为X0123P1627427427327所以E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79跟踪演练3口袋里装有大小相同的卡片8张，其中3张标有数字1，3张标有数字2，2张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后，第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.求ξ的期望．解依题意，随机变量ξ的取值是2，3，4，5，6.P(ξ＝2)＝3282＝964，P(ξ＝3)＝2×3282＝1864，P(ξ＝4)＝32＋2×3×282＝2164，P(ξ＝5)＝2×3×282＝1264，P(ξ＝6)＝2282＝464.∴ξ的分布列是ξ23456P964186421641264464∴E(ξ)＝2×964＋3×1864＋4×2164＋5×1264＋6×464＝154.题型四正态分布的应用求解正态分布的问题，要根据正态曲线的对称性，还要结合3σ原则，知道正态曲线与x轴之间的面积为1.例4某地数学考试的成绩X服从正态分布，某密度函数曲线如右图所示，成绩X位于区间(52，868]的概率为多少？解设成绩X～N(μ，σ2)，则正态分布的密度函数φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，由图可知，μ＝6