高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《2.3等差数列的前n项和》第2课时课件

课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练1．掌握等差数列前n项和的性质，并能应用性质解决一些问题．2．会求等差数列前n项和的最值．3．会解决有关等差数列求和的综合问题．1．等差数列前n项和的性质．(重点)2．等差数列前n项和的最值问题．(难点)第2课时等差数列前n项和的应用【课标要求】【核心扫描】课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练等差数列前n项和的性质(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为____.自学导引1．(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为.d2(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.m2d课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(4)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝___，S奇S偶＝；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝___，S奇S偶＝.ndananan＋1nn－1课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练：如果数列的前n项和公式Sn＝An2＋Bn，其中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数列？提示：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an①得Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)②由①－②得an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∵S1＝a1，又Sn＝An2＋Bn，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2An－A＋B.当n＝1时，a1＝S1＝A＋B符合上式，∴an＝2An－A＋B(n∈N*)∴数列{an}是等差数列，首项为A＋B，公差为2A.∴an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中2．当a10，d0时，Sn有_____值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10，d0时，Sn有_____值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．(2)因为Sn＝d2n2＋a1－d2n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有_____值；当d0时，Sn有_____值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．最大最小最小最大an≥0an＋1≤0an≤0an＋1≥0课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练关于等差数列奇数项与偶数项性质的推导①若项数为2n，则S偶－S奇＝a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－…－a2n－1＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝名师点睛1．d＋d＋…＋dn个d＝nd.S奇S偶＝n2a1＋a2n－1n2a2＋a2n＝2an2an＋1＝anan＋1.②若项数为2n－1，由等差数列的性质：a2＋a2n－2＝a1＋a2n－1＝…＝2an.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练二次函数配方法求等差数列前n项和Sn的最值∴S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2＝n－12(a2＋a2n－2)＝n－12×2an＝(n－1)an.S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝n2(a1＋a2n－1)＝n2×2an＝nan.∴S奇－S偶＝nan－(n－1)an＝an，S奇S偶＝nann－1an＝nn－1，这里an＝a中．通过配方得Sn＝An＋B2A2－B24A，利用二次函数的性质求最值，但特别注意n∈N*，所以n为最接近－B2A的正整数时，Sn取最值．2．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型一等差数列前n项和性质的应用一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．[思路探索]解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．【例1】解法一设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋nn－12d.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练由已知得10a1＋10×92d＝100100a1＋100×992d＝10①②①×10－②，整理得d＝－1150，代入①，得a1＝1099100.∴S110＝110a1＋110×1092d＝110×1099100＋110×1092×－1150＝1101099－109×11100＝－110.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练故此数列的前110项之和为－110.法二数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.法三设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，10S10＋10×92×d′＝S100＝10，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练∴102a＋10b＝100，1002a＋100b＝10，∴a＝－11100，b＝11110，∴Sn＝－11100n2＋11110n，∴S110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；法二是利用等差数列的“片断和”性质，构造出新数列，从而使问题得到解决．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.解法一设此数列首项为a1，公差为d，∵S偶－S奇＝6d，∴d＝5.【变式1】则12a1＋12×12×11d＝3546a1＋d＋12×6×5×2d6a1＋12×6×5×2d＝3227，解得d＝5.法二S奇＋S偶＝354S偶S奇＝3227⇒S偶＝192，S奇＝162.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求数列的前多少项和最大？[思路探索]可根据题意先求得数列的公差，从而由通项的正负或前n项和公式判断；也可根据前n项和的函数特性求解．题型二等差数列前n项和的最值问题【例2】解法一由a1＝25S17＝S9得a1＝25，17a1＋17×162d＝9a1＋9×82d，解得d＝－2.则Sn＝25n＋nn－12(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练所以数列的前13项和最大．法二同法一解得d＝－2.∴an＝25＋(－2)(n－1)＝－2n＋27.令an0，即－2n＋270.解得n13.5，即数列的前13项均为正数，第13项以后均为负数，所以数列的前13项和最大．法三∵a1＝25，S9＝S17，∴公差d0.又Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n，∴设a＝d2，b＝a1－d2，则Sn＝an2＋bn(a0)，其图象是二次函数f(x)＝ax2＋bx图象上一群孤立的点．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练∵S9＝S17，即f(9)＝f(17)，∴当x＝13时，f(x)取得最大值．∴数列的前13项和最大．∴二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝9＋172＝13，且开口向下，法一是利用二次函数的最值求解，法二是通过数列的通项的特点找出正负项的分界点，法三是利用了前n项和的二次函数特性，由二次函数的对称性求解．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值．解(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋nn－12·(－2)【变式2】课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25∴当n＝5时，Sn取得最大值．法二由(1)知a1＝9，d＝－20，∴{an}是递减数列．∵n∈N*，∴n≤5时，an0，n≥6时，an0.∴S5最大．令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤112.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn.审题指导(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出an及Sn；(2)由(1)求出bn的通项公式，再根据通项公式的特点选择求和的方法．[规范解答](1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有题型三裂项相消法求数列的和【例3】(2)令bn＝1an2－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.(2分)课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1；(4分)Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.(6分)(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝1an2－1＝12n＋12－1＝14·1nn＋1＝141n－1n＋1(9分)所以Tn＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝141－1n＋1＝n4n＋1.(11分)即数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.(12分)课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【题后反思】裂项相消法求和是数列求和的一种常用方法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项)，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相抵消，进而可求出数列的前n项和．常用到的裂项公式有如下形式：(1)1nn＋k＝1k1n－1n＋k；(2)1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝6，S3＝12.(1)求数列{an}的通项公式；【变式3】解(1)∵a3＝a1＋2d＝6，S3＝3a1＋3d＝12，∴a1＝2，d＝2，∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)由(1)知Sn＝2n＋nn－12×2＝n(n＋1)．∴1S1＋1S2＋…＋1Sn＝11×2＋12×3＋…＋1nn＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练误区警示分析问题不严密致误【示例】在等差数列an中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．[错解]设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，得120d＝－200，即d＝－53，∴an＝20－(n－1)×53，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练当an＞0时，20－(n－1)×53＞0，∴n＜13，∴n＝12时，Sn最大，S12＝12×20＋12×112×－53＝130.∴当n＝12时，Sn有最大值S12＝130.解中仅解不等式an＞0是不正确的，事实上应解an≥0，an＋1≤0.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0.∵公差d＜0，a1＞0，∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130.[正解]法一由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－53.法二Sn＝An2＋Bn，由题意对应函数y＝Ax2＋Bx的对称轴为x＝