二次函数解析式的确定(成都市东湖中学九上数学)

二次函数解析式的确定引例1、已知二次函数的图象经过点（１，－１）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．22yax２、已知二次函数2(2)(3)2ymxmxm（１）求m的值，并写出二次函数的解析式；（２）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．的图象过点（０，５）．复习提问:1、如何用待定系数法求函数的解析式？2、已知二次函数的顶点为（2，3），你能设出二次函数的解析式吗？1.常用的二次函数解析式的求法：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)例、已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。解法一：一般式设解析式为∵顶点C（1，4），∴对称轴x=1.∵A(-1,0)与B关于x=1对称，∴B（3，0）。∵A(-1,0)、B（3，0）和C（1，4）在抛物线上，∴即：应用举例例、已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。解法二：顶点式设解析式为∵顶点C（1，4）∴又∵A(-1,0)在抛物线上，∴∴a=-1即：∴∴h=1,k=4.应用举例解法三：交点式设解析式为∵抛物线与x轴的两个交点坐标为A(-1,0)、B（3，0）∴y=a(x+1)(x-3)又C（1，4）在抛物线上∴4=a(1+1)(1-3)∴a=-1∴y=-(x+1)(x-3)即：例、已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。应用举例例1、已知一条抛物线的顶点是（-1，2），其与y轴交点纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。练习：已知一条抛物线的顶点是（３，－2），并且图象与x轴两交点距离为４，求这条抛物线的解析式.练习：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物形水柱在与池中心的水平距离为１m处达到最高，最高为３m，水管应多长？例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数的图象与x轴、y轴的交点，并且经过点（1，1）求这个二次函数解析式，并把解析式化成的形式。332yx2()yaxhk例3、已知抛物线与x轴有两个交点（2，0），（-1，0），且过点（1，3），求这条抛物线的解析式。练习1、已知二次函数的图象过点（-2，0），（6，0），最大值是8，求二次函数的解析式。练习2:抛物线过(-1,-1)点,它的对称轴是x=2,且在x轴上截取长度为４的线段，求此函数的解析式．【练习3】已知：抛物线过两点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴是直线x=2，求其解析式.y=-x2+4x-3.【例4】如图3-5-1所示，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=，CB=2,∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它的顶点坐标.32143333yxx顶点坐标为(-2，-1)335.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图3-5-4所示).如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面40/3米，则水流落地点B离墙的距离OB是()A.2米B.3米C.4米D.5米B6、某公园草坪的护拦是由50段形状相同的抛物线形组成的，为牢固起见，每段护拦需按间距0.4m加设不锈钢管做成的立柱（如图）。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用如图所示的坐标系进行计算。（1）求抛物线的解析式；（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度。0.520.41C，抛物线与抛物线关于x轴对称，求抛物线7、已知抛物线的解析式是2245yxx2C1C2C的解析式。8、如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面出安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m。由柱子顶端A出的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m。（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米（精确到0.1m）？（提示：可建立如下坐标：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直OA的直线为x轴，点O为原点。）AO9、公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的销售量将是原销售量y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：277101010xyx（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，个项目每股投资今额和预计年收益如下表：项目ABCDEF每股（万元）526468收益（万元）0.550.40.60.50.91如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目。10、某房地产公司要在一块矩形ABCD土地上规划建设一个矩形GHCK小区公园，为了使文物保护区不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB=200m,AD=160m,AE=60m,AF=40m.AEF（1）当矩形小区公园的顶点G恰在EF的中点时，求公园的面积；（2）当G在EF上什么位置时，公园的面积最大？DKFMANGEBHC例:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.由题意得：为解：设所求的二次函数,2cbxaxy724410cbacbacba5,3,2cba解得，5322xxy所求的二次函数是｛待定系数法(3)已知二次函数的图像过（-1，2），（0，1），（2，-7）已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c,设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7）三点∴a-b+c=0c=14a+2b+c=-7a=-1b=-2c=1y=-x2-2x+1例：已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经过点C（2，8）（1）求该抛物线的解析式（2）求该抛物线的顶点坐标解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c由已知，抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解这个方程组得，a=2b=2C=-4所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2）解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得解得∴二次函数的表达式为．（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m，m）代入，得，解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．cxaxy42.3439,)1(4)1(122caca.6,1ca642xxy2x642xxy642mmm121,6mm11m2x