二次型化为标准形的几种方法

新疆师范大学教务处2015届本科毕业论文题目：二次型化为标准型方法所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：赵江南指导教师：艾合买提答辩日期：2015年5月5日目录1引言.................................................................12关于二次型定义.......................................................13二次型化为标准型的方法...............................................33.1正交变换法.......................................................33.2.配方法..........................................................53.3.初等变换法......................................................73.4.雅可比方法......................................................83.5.偏导数法.......................................................104.小结...............................................................14参考文献.............................................................15致谢.................................................................16二次型化为标准形的几种方法摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法SeveralMethodsofChangingtheQuadraticintotheStandardAbstract：Quadraticistheimportantcontentshouldstudyalgebra,inourstudiesofquadraticproblem,forconvenience,willusuallybequadraticintostandardform.Thisisbothakeyisadifficulty,thispaperintroducessomeHuaErtimesforthestandardformoforthogonaltransformmethod,method:matchmethod,elementarytransformation,jacobianmethod,partialderivativemethod.Thetextintroducesseveralmethodsdefinedandconcretestep,simultaneouslygivesappropriateexamplestoillustrate.Amongthem,thepartialderivativemethodandmatchmethodandsimilar,buttheformerhasthefixedsteps,andmatchmethodneedtoobservedtoformula.Keywords:orthogonaltransformmethod;matchmethod;elementarytransformation;jacobianmethod;partialderivativemethod新疆师范大学2015届本科毕业论文（设计）11引言二次型是代数学中的一个重要问题，它在数学中占有重要地位，在实际生活中也有着广泛的应用。其中二次型的一个很重要的问题就是将二次型化为标准型问题。针对这一问题，本文将逐一列举五种化二次型为标准型的方法，分别是：正交变换法、配方法、初等变换法、雅克比方法、偏导数法。并且将具体给出每种方法的特点及适用范围，并给出例题。2关于二次型定义定义2.1.1设V是数域K上的向量空间，如果V中任意一对有序向量),(都按照某一法则f对应于K内唯一确定的一个数，记作),(f，且(i)对任意1k，2kK，1，2，V，有f),(2211kk=1k),(1f+2k),(2f；(ii)对任意1l，2lK，，1，2V，有f),(2211ll=1lf),(1+2lf),(2；则称),(f是V上的一个双线性函数.定义2.1.2设V是数域K上的向量空间，),(f是V上的一个双线性函数.如果V中任意一对有序向量),(有),(f=),(f，则称),(f是V上的一个对称双线性函数.定义2.1.3设V是数域K上的线性空间，),(f是V上双线性函数，当时，V上函数),()(fQf称为),(f对应的二次型函数.给定V上一组基12,,...,n，设),(f的度量矩阵为nnijaA)(，对V中任一向量1niiix有jinjijnixxaf11),(.(1)这式中ijxx的系数ijji.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为nnijaA)(，及nnijaB)(,只有ijjiijjibb，,1,2...ijn.所以其所对的二次齐次函数是相同的，得到很多双线性函数可以对应于相同二次齐次函数，现要求A为对称矩阵，就相当于使双线性函数对称，则一个对称双线性函数只与一个二次齐次函数对应.从(1)我们可以得到：一个二次齐次函数的坐标表达式其实和二次型等价，又因为它与对称矩阵相对应，所以这个对称矩阵就是唯一的与这个二新疆师范大学2015届本科毕业论文（设计）2次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵.),()(fQf=AXX=ni1jinjijxxa1)(jiijaa.定义2.1.4设K是一个数域，nKaij,个文字nxxx，，，21的二次齐次多项式nnnxxaxxaxxaxaxxxf1131132112211121222),,,(nnxxaxxaxa22322322222222nnnxa=jinjijnixxa11),,2,1,,(njiaajiij.称为数域K上的n元二次型，简称二次型.当ija实数时，称f为实二次型.当ija复数时，称f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即),,,(21nxxxf=2222211nnxdxdxd.称f为标准型.总之，数域K上的二次型f就是V内一个二次型函数)(fQ在基12,,...,n下的解析表达式.即V内取定一组基之后，就使V内全体二次型函数)(fQ所成集合和数域K上n元二次型f所成的集合之间建立起一一对应关系.由于数域K上二次型f与二次型函数)(fQ一一对应，因此关于对称双线性函数所得到的结果可以直接用到二次型f上来.A的主对角线上的元素依次为二次型的平方项的系数，而A的第i行第j列元素ija)(ji是交叉项jixx的系数的一半，再取ija=jia)(ji即得到对称矩阵A.于是这个二次型就可以用矩阵形式表示为),,,(21nxxxf=AXX.例1写出二次型222123123121323(,,)242684fxxxxxxxxxxxx所对应的矩阵？解234342422A定义2.3.1对称矩阵A分别施行以下三种变换，统称为矩阵的初等保号变换：(i)交换A的某两行（列）；(ii)用一个正数0k乘A的某一行（列）；(iii)用一个正数0k乘A的某一行（列）加到另一行（列）；易见矩阵的初等保号变换不改变二次型的正定性，负定性，半正定型，半负定性.新疆师范大学2015届本科毕业论文（设计）3引理1非退化线性替换不改变实二次型的负定，正定，半正定，半负定，不定.证明设),,,(21nxxxg=AXX是负定二次型，并且CYX(0C)是非退化线性替换.),,,(21nxxxg=AXX，BYYyyyfn),,(21)(ACCB，并且对任意nnRkkk021，nnkkkCccc2121，结果0),,,(),,(2121nncccgkkkf，即),,(21nyyyf是负定二次型.反之设),,(21nyyyf是负定：AXXxxxgXCYBYYyyyfnn),,(),,,(21121其中011CC于是得到),,,(21nxxxgXAX是负定的，也就是非退化线性替换不会改变正定二次型的负定性.同理，非退化线行替换不改变正定二次型的半负定、半正定性、和不定性。例2判断正定二次型22121122(,)2fxxxxxx、在非退化线性替换能否改变二次型的正定性？解：22212112212(,)2fxxxxxxxx故作非退化线性替换11222yxxyx，便得222112212xxxxy因此上面例子可以看出二次型在非退化线性替换下还是正定二次型.从此推出：实二次型),,,(21nxxxf的“负定性，正定性，半负定性，半正定性以及不定性”是非退化线性变换下的一个不变性质.3二次型化为标准型的方法3.1正交变换法根据二次型的性质，则必可以通过一个适当变换将二次型化为只含有平方项的形式定理1任意一个实二次型ninjjiijxxa11，jiijaa都可以经过正交的线性替换变成平方和2222211nnyyy其中平方上的系数n,,,21就是矩阵A的本征多项新疆师范大学2015届本科毕业论文（设计）4式的全部的根。下面讨论通过正交变换法化二次型为标准型的步骤。○1将实二次型表示成矩阵形式AXXfT并写出矩阵A。○2求出矩阵A的所有本征值n,,,21，可能会出现多重本征值，分别记它们的重数为nkkkkkknn2121,,,○3对于每个本征值所对应的本征向量n,,,21，通过方程01XAE，能求出和1对应的1k个线性无关的本征向量。同理，对其他的本征值n,,2也是采用此方法求出与之对应的本征向量。因为nkkkn21，所以一共能出n个本征向量。○4将所求出的n个本征向量n,,,21先后施行正交化，单位化得到n,,,21，记为TnC,,,21○5作正交变换CYX,则得二次型f的标准形2222211nnyyyf例1用上面所述的方法化下面的二次型32212322213214432,,xxxxxxxxxxf为标准形。解：（1）首先写出原二次型的矩阵32-02-22-02-1AA的特征多项式15-2-3-2022-2021AE从而得A的特征值为21,52,13（2）求特征向量，将21带入0XAE中，得到方程02022023323121xxxxxx解此方