弹性力学-第二章 张量基础知识

§2-1坐标系和矢量§2-2张量的定义§2-3张量代数第二章张量基础知识§2-4二阶张量§2-5对称二阶张量的谱表示弹性力学主讲邹祖军第二章张量基础知识§2-6张量分析§2-7积分定理第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量§2-1坐标系和矢量如图2.1，三维空间直角坐标系Oxyz,张量:简洁、统一、物理意义明确、与坐标系的选择无关oPr图2.11x2x3x1e2e3e321,,xxxzyx,,P点坐标（x,y,z)),,(321xxxP点坐标可记为：1,2,3)(ixixiie正方向的单位基矢量iiuuuueeeeu332211(2.1)第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量oPr图2.11x2x3x1e2e3eiixreP点坐标为：ix(2.2)如图2.1,原点O到P点的矢量为P点的矢径,用r表示OP332211eeexxx第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量n1kkkn1jjjn1iii2211xaxaxaxaxaxaSnn显然，指标i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。于是kkorjjoriixaxaxaSn表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题332211iixaxaxaxaA:求和约定、哑指标第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量332211jjbbbb332211mmeeeecccc双重求和31i31jjiijxxaSjiijxxaS展开式（9项）313321321131322322221221311321121111xxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaS三重求和（27项）kkxxxaxxxaSjiijk31i31j31kjiijk第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量iiixba是违约的，求和时要保留求和号n1iiiixbaB:自由指标jijixax例如指标i在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,2,3,…,n，与哑标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：3132121111xaxaxax3232221212xaxaxax3332321313xaxaxax第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量jijieeA3132121111eeeeAAAi为自由指标，j为哑标表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAAjkikijBAC1313121211111k1k11BABABABACi，j为自由指标，k为哑标表示9个方程：2313221221112k1k12BABABABAC3313321231113k1k13BABABABAC1323122211211k2k21BABABABAC3333323231313k3k33BABABABAC……第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量C:Kroneckerdelta符号在卡氏直角坐标系下，Kroneckerdelta符号定义为：ji,0ji,1ji100010001333231232221131211其中i，j为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量若321,,eee是相互垂直的单位矢量，则3332211iieeeeeeeejijiee，但3332211ii而，故iiiiee第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量(2.3)3iiji的作用：1）换指标；2）选择求和。例：kiAAkkkkiikAAA注意：是一个数值，即ii思路：把要被替换的指标i变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k表示例jijkTTjijiiijkkiTTT例jmimjninjnimnmBABABAjnimBA个数，813,4nm项的和。求特别地，jijkkimimjjkki,第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量iiijjijijijjiibabababaeeeeba任意两矢量a和b的点积矢量a的模iiaaaaaa(2.4)),cos(||||bababa两矢量a和b用正交基表示,则其点积为ie)e,(e|e||e|jijicos第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量D:置换符号Permutationsymbol,0,1,1kjiei,j,k为顺序排列i,j,k有两个相等例如：1312231123eee1132213321eee0232121111eeei,j,k为逆序排列(2.5)可见：ijkjkikijjikikjkjieeeeeekjie也称为三维空间的排列符号。第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量任意两矢量a和b的叉积由叉积定义,若321,,eee是直角坐标系的单位基矢量kkjijieeee则(2.6)312212311312332321321321)()()(eeeeeebavuvuvuvuvuvuvvvuuu(2.8a)ikjjikkjiklljikji)()()(eeeeeeeeeeeee(2.7)aba×b第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量式(2.8a)可写为kkjijijijijjiieeeeeevuvuvuvu(2.８b)uvvu三矢量a,b,c的混合积321321321cccbbbaaaecbaijkkjic)(bab]a,[c,a]c,[b,c]b,[a,(2.9)ijkkjijkikjiiljklkjilijklkjiljklkjiiecbaecbaecbaecbaecbaeeeea,b,c为共点棱的平行六面体的体积，a,b,c构成右手系为正第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量Ｅ:Kroneckerdelta符号与置换符号Permutationsymbol的关系knkmkljnjmjlinimillmnijkee(2.10)证明(1).i,j,k有两个相同时，上式成立，同理，l,m,n有两个相同时，上式也成立123123333231232221131211100010001ee(2).不同时,由下式交换行(a)第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量123321321321eeijkkkkjjjiii(b)(3).同理,由(b)式交换列可得到(2.10)式从(2.10)式可得到下面几个有用的恒等式jsjrisirjsjrisirisirjsjrjsjrisirkkkskrisirjkkskrjsjrikkkkskrjkjsjrikisirrskijkee3第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量jrisjsirjsjrisirjsjrisirjsjrisirisirjsjrjsjrisirkkkskrisirjkkskrjsjrikkkkskrjkjsjrikisirrskijkee3即jrisjsirrskijkee(2.11)第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量iririrjrijjjirrjkijkee23(2.12)62iiijkijkee(2.13)二重叉积b)c(ac)b(aeeeeeeeeeec)(bassiissiiskijsksjikjisistjktkjisitsjktkjitjktkjiikkjjiicbabcacbaeecbaeecbaecbacba)()()(即b)c(ac)b(ac)(ba(2.14)F:坐标变换旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：321xxxO单位基矢量：),,(321eee新坐标系：321xxxO),,(321eeejijijijiji),cos(),cos(||||eeeeeeee单位基矢量：图2.21e2e3e1e2e3eO旧新1e2e3e1e2e3e111221312213233233(2.16)第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量新旧1e2e3e1e2e3e111221312213233233jijijijiji),cos(),cos(||||eeeeeeee(2.16)jjijjiieeeee(2.15)jjijjiieeeeeji变换系数kjkikttjkitjkijijitkeeeekjkitktjkitjkijiijtkeeeeijji第二章张量基础知识§2-1坐标系和矢量即kjkijikjkiij(2.17)任一矢量u在新旧坐标中表示一致iiiiuueeu利用(2.15)则jjjijiiiuuueeejjjjiiiiuuueee即iijjuuijijuu(2.18)矢量u本身与坐标无关,矢量的分量ui随坐标系而变第二章张量基础知识§2-2张量的定义§2-2张量的定义推广矢量的概念iiiiuu1111iiiiTT21221121iiiiiiiiTT若在空间任一组基下,有用n个指标编号的个数ien3niiiT21当基矢量按变换成时,个数按如下规律变换iiiieen3niiiT21iennnniiiiiiiiiiiiTT21221121张量的定义(2.19)为对应基下的张量分量,有时称为n阶张量.niiiT21个数的有序集合为一个n阶张量.称n3niiiT21niiiT21第二章张量基础知识§2-2张量的定义标量零阶张量，不随坐标变换而变的不变量矢量一阶张量，一个矢量的某一分量不是标量，它随坐标系的变化而变化矢量的三种记法：不变性记法如T；基矢量的线性组合法；用矢量分量表示即并矢记法。一个n阶张量的并矢记法：nniiiiiiTTeee2121(2.20)niiieee21n个基矢量并写在一起，称为基张量其有基张量.n3第二章张量基础知识§2-2张量的定义二阶张量T333323321331322322221221311321121111eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeTTTTTTTTTTTjiij000000001]001[00111ee000000010]010[00121ee第二章张量基础知识§2-2张量的定义…000001000]001[01012ee000000100]100[00131e