弹性力学公式经典版

任意斜截面上的应力Cauchy公式：Tx=σxl+τxym+τzxn、Ty=τxyl+σym+τzyn、Ty=τxzl+τyzm+σzn弹性体的应力边界条件：。xyxzxxyyzyxzyzzlmnXlmnYlmnZ主应力、应力张量、不变量当一点处于某种应力状态时，在过该点的所有截面中，一般情况下存在着三个互相垂直的特殊截面，在这些截面上没有剪应力,这种剪应力等于零的截面称为过该点的主平面，主平面上的正应力称为该点的主应力，主平面的法线所指示方向称为该点的主方向。静力平衡方程几何方程：物理方程三个基本原理：解的唯一性原理、叠加原理、圣维南原理。圣维南原理：由作用在物体局部边界表面上的自平衡力系，所引起的应力和应变，在远离作用区的地方将衰减到可以忽略不计的程度。另一种提法：如果把物体局部边界表面上的力系，使用分布不同但静力等效（主失相等，绕一点的主矩也相等）的力系来代替，则这种等效代换处理使得物体内的应力分布仅在作用区附近有显著影响，而在远离作用区的地方所受影响很小，可以忽略不计。为什么要用：1、在弹性力学的边值问题中，要求在边界上任意点，应力与面力相等，方向一致，往往难以满足。2、有时只知道边界面上的合力和合力矩，并不知道面力的分布形式。因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。其要点有两处：一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系（主矢量和主矩分别等于对应面力的主矢量和主矩）；二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。Cauchy公式：Px=σxl+τxym+τzxnpy=τxyl+σym+τzynpy=τxzl+τyzm+σzn22222()()()nxyzxyznnTnnTlTmTnTnTTTTn边界条件：()()()xxyxzsxxyyyzsyxzyzzszlmnTlmnTlmnT平衡微分方程：000yxxzxxxyyzyyyzxzzzFxyzFxyzFxyz主应力、不变量，偏应力不变量321231230xyzxxyyzzxyzyxyzyxzxzxxyxzyxyyzzxzyzIIIIII1231();3miims112322222223016()6xyyzzxxyyzzxJsssJJ偏应力张量行列式的秩八面体8123222812233121()312()()()33J等效应力23J体积应变xyz12312()Evv几何方程：;;;xxyyyzzxyuuvxyxvvwyzywuwzzx12ijij变形协调方程22222yxyxxyyx物理方程12(1);12(1);12(1);xxyzxyxyyyxzyzyzzzyxzxzxvvEEvvEEvvEE偏应力与偏应变的关系3;2mmijijKsGe平面应变问题'x'''''''2111111112(1)2(1);0;110;xyxyyyxyxxyxyxyzzyzxzyzxzxyvvvvEvvvvEvvEEEvEvvvv平面应力问题x11;2(1)01;0xyyyxxyxyzyzxzyzxzxyzvvEEvEv平面问题方程：平衡方程：00yxxxxyyyFxyFxy几何方程;;xyxyuvuvxyyx边界条件;xyxxxyyylmTlmT位移边界条件;xxyyuuuu协调方程平面应变22222yxyxxyyx平面应力222220;0;0zzzxyxy平面问题应力解（直角坐标系）22222xxyyxyFxyFyxxy协调方程：222222222()()()0xyxyxy平面问题应力解（极坐标系）平衡微分方程：10210rrrrrrFrrrFrrr几何方程：1;1rrrrruuurrruuurrr本构方程：r11;2(1)rrrrvvEEvE变形协调：22222211()0rrrr已知应力函数，求应力2222222211;111()rrrrrrrrrrr极坐标求解的对称问题2222lnln(12ln)2(32ln)2rArBrrcrDArCrArCrBBbB0q,q,a中间有空洞，位移单值要求环内力环外力2222222222222222222221''''''ab(1)(1)bb(1)(1)DuDrr1121ln1113cossin4sincosrabrabrbaqqabrbarbaqqbarbarAuvvBrrrEvCrIKEBruHrIKE位移：平面应变下：r(1)112(1)112rrEuuuuEuuuu