弹性力学及有限元法 chapter2

空间问题的数学描述第二章平面问题的基本理论已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个坐标参数x、y、z有关；15个未知函数—6个应力分量：6个应变分量3个位移分量：u、v、w，一般都是三个坐标参数x、y、z的函数；基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。,,,,,xyzxyyxyzzyzxxz,,,,,xyzxyyxyzzyzxxz第二章平面问题的基本理论平面问题的数学描述已知的几何参数和载荷（表面力和体积力）只与两个坐标，例如x、y有关，而与z无关；15个未知函数中只存在有oxy平面内的分量，且只是x、y的函数，其余分量或不存在，或可以用oxy平面内的分量表示；基本方程式是二维的。第二章平面问题的基本理论§2-1平面应力问题与平面应变问题如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。平面应力问题oyxzyt/2t/2几何形状特征：物体在一个坐标方向（例如z）的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板。载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面，体积力亦平行于板面且沿厚度不变。第二章平面问题的基本理论因为板面上不受力，所以由于剪应力互等，有0,2zzxzytz0,0xzyz这样，只有平行于oxy平面的三个应力分量，即,,xyxyyx在平面应力问题中，独立的未知函数有8个，只是x和y的函数，不随z而变化。注意：0z由广义虎克定律得到,,,,,,,xyxyxyxyuv1zzxyxyEEoyxzyt/2t/2平面应变问题第二章平面问题的基本理论几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴，且分布规律不随z变化。0w由于对称（任一横截面都可以看作是对称面），所有各点都只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，即因为所有各点的位移矢量都平行于oxy面，所以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。oxyz由对称条件可知，根据剪应力互等，由虎克定律，得出第二章平面问题的基本理论0,0zxzy0,0xzyz0,0,0,0zxzyxzyz在平面应变问题中，独立的未知函数有8个，只是x和y的函数，不随z而变化。,,,,,,,xyxyxyxyuv注意：由于z方向的伸缩被阻止，所以0z由广义虎克定律得到zxy在弹性力学里分析问题，要从三个方面来考虑：静力学方面、几何学方面和物理学方面。首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。§2-2平衡微分方程第二章平面问题的基本理论根据微元体处于平衡的条件，可以得到三个平衡微分方程。第二章平面问题的基本理论oxyABCDdxdyyyydyyxxxdxxxyyxxyxydxxyxyxdyyM。XY（一）作用于体心M的合力矩为零，即0zM02222xyyxxyxyyxyxdxdxdydydxdydydydxdxxy略去微量，整理，得出xyyx证明了剪应力互等定理。（二）x方向的合力为零，即第二章平面问题的基本理论0xF0yxxxxyxyxdxdydydydxdxXdxdyxy整理后，得0yxxXxy（三）y方向的合力为零，即0yF类似于上式，可得0xyyYxy平面问题的平衡微分方程00yxxxyyXxyYxyx方向PA的正应变第二章平面问题的基本理论§2-3几何方程PABP'A'B'oxyudxuudxxvdyvvdyyvvdxxuudyyB''A''yxxyxuudxdxudxuxdxxy方向PB的正应变yvvdydyvdyyvdyy几何方程表明了应变分量与位移分量之间的关系。PA与PB所夹直角的改变，即剪应变由两部分组成：x方向线素PA向y方向的转角，记为，和y方向线素PB向x方向的转角，记为，即第二章平面问题的基本理论yxxy''''''1yxyxvdxAAxtguPAdxx1uxyxvxxyuyxyyxvuxy由上图可知，xyyxyxxy在小变形下，，所以同理，所以xyyx综合以上所列各式，得出平面问题的几何方程式第二章平面问题的基本理论xyyxxyuxvyvuxy要保证物体的位移是连续的，则应变分量之间必须满足一定的条件，即变形协调方程，或相容方程。22222yxyxyxxy应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程，也称为本构方程。第二章平面问题的基本理论§2-4物理方程在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系由虎克定律导出111111xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGGE是弹性模量，G是剪切弹性模量，是侧向收缩系数，又称为泊松比。21EG平面应力问题的物理方程第二章平面问题的基本理论在平面应力问题中，0z1121xxyyyxxyxyEEEzxyE由虎克定律，得，可以用来求得薄板厚度的改变。因为在平面应力问题中有0yz0zx和，所以有0yz0zx和第二章平面问题的基本理论平面应变问题的物理方程在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿z方向移动，即w=0，所以z方向的线段都没有伸缩，即0z由虎克定律，得zxy22111121xxyyyxxyxyEEE，代入虎克定律，得平面应变问题的物理方程可以看出，在平面应力问题的物理方程中，将E换为第二章平面问题的基本理论因为在平面应变问题中也有0yz0zx和，所以有0yz0zx和21E换为1，就得到平面应变问题的物理方程。同样可以看出，在平面应变问题的物理方程中，将E换为2121E，换为1，就得到平面应力问题的物理方程。引入记号第二章平面问题的基本理论§2-5平面问题基本方程式的综合与矩阵表示xyxyxyxyufvXFY—应力分量列阵—应变分量列阵—位移分量列阵—体积力分量列阵—微分算子矩阵100xHyyx第二章平面问题的基本理论用应力、应变、位移分量表示的基本方程平衡微分方程00xyxyXxyYyx1THF或几何方程00xyxyxuvyyx或1Hf第二章平面问题的基本理论物理方程2101011002xxyyxyxyE（平面应力）1011101121120021xxyyxyxyE（平面应变）统一写为D用应变表示应力其中矩阵[D]称为弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵第二章平面问题的基本理论2101011002ED（平面应力）1011101121120021ED（平面应变）这样，用应力、应变和位移分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为第二章平面问题的基本理论11THFHfD方程组的总数是8个：2个平衡方程，3个几何方程和3个物理方程。所包含的未知函数也是8个：3个应力分量；3个应变分量；2个位移分量。,,xyxy,,xyxy,uv常从该方程组出发按位移求解。第二章平面问题的基本理论用应力和应变分量表示的基本方程平衡微分方程00xyxyXxyYyx1THF连续性方程引入二阶微分算子行阵222222Hyxxy222220xyxyyxxy20H或或第二章平面问题的基本理论物理方程用应力表示应变101100021xxyyxyxyE（平面应力）210111012001xxyyxyxyE（平面应变）统一写为C第二章平面问题的基本理论其中[C]是弹性矩阵[D]的逆矩阵。101100021CE210111012001CE1CD（平面应力）（平面应变）第二章平面问题的基本理论这样，用应力和应变分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为方程组的总数是6个：2个平衡方程，1个连续性方程和3个物理方程。所包含的未知函数也是6个：3个应力分量及3个应变分量。120THFHC,,xyxy,,xyxy常从该方程组出发按应力求解。第二章平面问题的基本理论§2-6边界条件位移边界条件应力边界条件设平面弹性体在Su边界上给定位移和，它们是边界坐标的已知函数。则在Su边界上，位移分量必须等于该点的给定位移，即,uuvvabSuABCSxyo.M..uv设平面弹性体在边界上给定表面力分量和，它们是边界坐标的已知函数。则在边界上，应力分量与给定表面力之间的关系，可由边界上微元体的平衡条件得出。XXYSSYS第二章平面问题的基本理论xyoMXYNX___Y___dxdyxyxyyxdsABC在物体的边界上，取一微元三角形ABC，其斜边BC与物体的边界面重合。N表示边界的外法线方向，N的方向余弦为cos=l，sin=m，则dx=mds,dy=lds由微元体平衡条件，得0xF.02xyxldsmdsXdsldsmdsX略去高阶小量，整理后得xyxlmX同理，由，得0