3韩国平考研串讲之级数

-1-CH10级数（8~10）一、重要概念、公式（一）数项级数1、绝对收敛，条件收敛注：○1nu收敛，则称nu绝对收敛；○2nu收敛，nu发散，则称nu条件收敛2、性质：（1）若nu收敛，其和为,sk为常数，则1nnku也收敛，且其和为ks（2）若级数nnuV、分别收敛于S和T，则nnuv也收敛，且收敛于ST注：○1如一发散，一收敛，则其代数和发散；○2如两发散，则结论不一定（3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变注：○1一个级数加括号所得新级数收敛，并不能说明原级数是否收敛；○2但加括号发散，原级数一定发散（5）若级数1nnu收敛，则0limnu注：若lim0nu，则nu发散3、定理及审敛法（1）正项级数nu收敛部分和数列nS有界；（2）比较审敛法：○1设nnvu、都是正项级数：A、若从某项起，有0,kNnKVunn且nV收敛，则nu也收敛；B、若从某项起，有nnuKV且nu发散，则nV也发散○2设nnVu、是两个正项级数，且llVunnn0,lim，则nnVu、同敛散注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数（3）比值审敛法：设有正项级数1nnu，若1limnnnupu，则：-2-○1当01p时，级数nu收敛；○21p时，级数nu发散注：含!n或n的乘积形式（4）根值审敛法：设有正项级数1nnu，若limnnnup，则：○110p时，级数nu收敛；○21p时，级数nu发散注：含以n为指数的因子（5）交错级数审敛法：若交错级数11(1)nnnu满足：○11nnuu；○20limnnu，则该交错级数收敛，且其和1us，其余项的绝对值1nnur（6）绝对收敛定理：若nu收敛，则nu也收敛注：○1改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和；○2设级数nnvu、都绝对收敛，它们的和分别为S和T，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为ST4、公式：（1）11pnn：1p时收敛，1p时发散；（2）1nna：1a时收敛，1a时发散；（3）11lnpnnn：1p时收敛，1p时发散；（二）函数项级数1、基本概念：（1）定义：xun（2）和函数：xuxuSnn1（3）幂级数：收nnnxxa00敛半径，收敛区间（4）泰勒级数：如果()fx存在各阶导数，则000!nnnfxxxn称为泰勒级数2、定理公式：-3-（1）阿贝尔引理：若幂级数nnax：当0xx时收敛，则对0xx的x，nnax绝对收敛；当0xx发散，则对0xx的x，nnax发散注：收敛点是连成一片的（2）设R是幂级数nnax的收敛半径，且1limnnnapa：○1当0p时，1Rp；○20p时，R；○3p时，0R（3）幂级数的分析运算性质：设幂级数0nnnaxSx，其收敛半径为0R，则：○1和函数Sx在,RR内连续；○2和函数Sx在,RR内可导，且0nnnSxax；○3和函数Sx在,RR内任何区间上可积，且dttadxxSnnxnx000注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性（4）几个重要的麦克劳林展开式：!!212nxxxenx；3521sin13!5!21!nnxxxxxn；242cos112!4!2!nnxxxxn；nnxnxxxx1321321ln；nxnnxxx!11!21112；（5）泰勒定理：设()fx在点0x的某个邻域内具有任意阶导数，则()fx在0x处的泰勒级数在该邻域内收敛于()fx的充要条件是：当n时，()fx在点0x的泰勒级数余项0xRn-4-注：()fx在点0x的幂级数展开式000()!nnnfxfxxxn（三）付立叶级数1、基本概念（1）三角级数：形如10sincos2nnnnxbnxaa（2）正交：对于xxQ、在ba,上有定义，如果0dxxxQba，则称xxQ,正交（3）付立叶系数：○1()fx是周期为2的周期函数：则nxdxxfancos1，nxdxxfbnsin1○2()fx在,ll上以2l为周期：dxlxnxflallncos1，dxlxnxflbllnsin1○3fx在,ab上：dxabxnxfababan2cos2，dxabxnxfabbban2sin2（4）付立叶级数：以付立叶系数nnba、构成的三角级数01cossin2nnnaanxbnx付立叶级数（4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓）只含正弦项的级数正弦级数；只含余弦项的级数余弦级数注：奇延拓正弦即：奇函数正弦偶延拓余弦偶函数余弦2、定理如fx在，上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则xf的付立叶级数Sx在,ab上收敛，且：○1x为fx的连续点，xfxs○2x为fx的间断点，2xfxfxs○3x为fx的端点，bxax,,2bfafxs二、重要考点1、判定级数审敛法⑴判定0limnnu不等于0发散。-5-⑵判断1nnu是否为正弦级数，是按正项级数审敛法。⑶收敛，绝对收敛nu⑷交错级数审敛法及运用性质讨论注：nu不具体一般用定义性质讨论。对于正项级数nu的敛散性，常用台勒展开及等价无穷小代换讨论。2求极限：3、求函数项级数xunn1的收敛区间、收敛域、收敛半径，其一般步骤为：（注：函数不具体一般考虑阿贝尔引理）（1）由1lim1xpxuxunnn，解出x的取值范围（a，b）。（2）讨论在端点的敛散性。（3）给出结论。若0nnnxa的收敛域是8,8,则03133nnnnnxa的收敛半径是2.4、求数项级数的和，其步骤为：（1）构造幂级数，求出其收敛域（2）利用幂级数的分析运算性质，求出幂级数的和函数（3）代值计算注：○1nfxn整理逐项求导，1nnxn○2nxnf整理逐项积分，1nnx5将函数xf展开成0xx的幂级数的一般步骤：（1）作代换uguxfxfuxx00；（2）利用求导、积分、代换整理化简将ug展开为u的幂级数；（3）将0xxu代入即得。6求ixf0其步骤（1）求0xxxf关于的幂级数展开式（2）由ixx0的系数，ixixififa00!得-6-7函数的付立叶级数展开，其步骤：（1）判定f(x)的周期性、奇偶性（2）计算付立叶系数nnbaa、、0（3）写出付立叶级数，并由狄利克雷定理写出其和函数S(x)（4）如要求某个数项级数的和，则在s(x)中令x取某个特殊值。微分方程（8~12）一、重要概念、公式1、如果1y、2y是二阶线性齐次方程：0)(')(''yxQyxpy的两个解，则2211ycycy也是它的解，其中21cc、是任意常数；2、如果12yy、是'''0ypxyQxy的两个线性无关的解，则2211ycycy就是该方程的通解；3、如果y是二阶非齐次线性方程：xfyxQyxpy')(''的一个特解，而Y是它对应的齐次方程的通解，则yYy是该非齐次方程的通解；4、如果1y是)('''1xfyxQyxpy的解，2y是)('''2xfyxQyxpy的解，则2121)(')(''ffyxQyxpyyy是的解二、重要考点1、一阶微分方程，其步骤：（1）确定类型（代换整理）（2）代公式求解注：含22yxfxyfyxfxyfyxf、、、、一般都可通过变量代换化为基本形式。具体为：○1可分离变量：ygxfdxdydxxfygdy○2齐次方程：xyuxyQdxdy,转化为可分离变量xyu则xdxuuQduuuQdxdux○3一阶线性微分方程：xQyxpy)('公式：cdxexQeydxxpdxxp-7-○4贝努利方程：1,0)('nyxQyxpyn令uyn1，则xQnuxpndxdu11○5全微分方程：ypxQQdypdx满足,0，则为全微分方程：通解CdyyxQdxyxpyyxx00,,01.已知)(xf在),(上有定义,,1)0(f对于任意的),(,yx恒有2112)()()(xyyfxfyxf,求)(xf.解：由2112)()()(xyyfxfyxf令0y则有)0()()(fxfxf从而0)0(f原方程可以化为12)()()(2xyyfyxfyxf当0y时,对上式取极限,于是有12112)0()120)0()((lim)()(lim)(22200xxfxyfyfyxfyxfxfyy即121)(2xxf从而Cxarcxxftan2)(由0)0(f可知C=0即xarcxxftan2)(2.求微分方程xyxyxydxdy4222的通解解：方程是齐次方程,令xuy,代入得uuuudxdux4122.整理得uuudxdux41)31(当u(1+3u)0时,分离变量并积分,有duuuduuuuxdx)3171()31(41即xln+1c=uln-|31|ln37u,作恒等变形,得通解：73733)3()31(yxcxyucxu由于常数c取零时,已经将解u=0即y=0包含在公式内,而上述通解外方程还有解-8-1+3u=0即x+3y=0.2、可降阶的高阶微分方程，其步骤：（1）确定类型（2）代相应公式求解（注：在求特解时，应边运算边代值）1求0'1''yxy满足条件11',01yy的特解解：令py'则pxp1'cxplnln由11'y得c=0即：xp11lncxy由01y01Cxyln2求1'''22yyy满足11',21yy的特解。解：令dydppypy'','则即：)1('22ypppycyp1ln2ln由1)1('y得c=0即：21yp由1)1('y知21'yycxy11由02)1(cy得11yx3、解的结构已知)()()(10,10,10321233321xayxayxayexyxyyx是方程的三个特解,则该方程的通解可以表示为[A]10)(2231xeCxCA10)(2231xxeCxCBxeCxCC2231)(10)(D4、、求二阶常系数线性微分方程的通解，其步骤：1求0'''qypyy的通解Y:A由20rprq，求12,rr:B由12,rr的不同情况，写出通解○112,rr不等实根，通解xrxrecec