15 导数与函数的最值及在生活实际中的优化问题

温馨提示:请点击相关栏目。整知识·萃取知识精华整方法·启迪发散思维考向分层突破一考向分层突破二考向分层突破三考向分层突破四1．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值．考点•分类整合结束放映返回导航页2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤结束放映返回导航页最值与极值的区别与联系(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个定义域上的最大值和最小值，具有绝对性．(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不一定唯一．(3)极值只能在定义域内部取得，而最值还可能在区间端点处取得．(4)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．考点•分类整合结束放映返回导航页例1.已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(a、b为常数)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．1)求f(x)的表达式；2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值．解析：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2.令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，∴当x∈(－∞，－)，(，＋∞)时，g(x)单调递减，当x∈(－，)时，g(x)单调递增，又g(1)＝，g()＝，g(2)＝，∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)=.222222242342324353431313a+1=0a=-3b=0b=0132f(x)=-x+x3考向分层突破一：利用导数求解函数的最值结束放映返回导航页同类练：设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值．121[,e]e结束放映返回导航页变式练：2.已知函数f(x)＝lnx－ax(a0)．求函数f(x)在[1,2]上的最小值．综上可知，当0aln2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是ln2－2a.解析：f′(x)＝－a(x0)，1x(1)当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.1a(2)当≥2，即0a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.121a(3)当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，所以当aln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.12121[1,]a1a1[,2]a结束放映返回导航页拓展练3．(2014•江西卷)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a＜0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．x结束放映返回导航页结束放映返回导航页1.求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．2．可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．结束放映返回导航页例2(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．考向分层突破二：利用导数研究生活中的优化问题结束放映返回导航页解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r＞0，又由h＞0可得r＜5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．15rπ53π5π5(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．3结束放映返回导航页跟踪训练.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，且银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行可获取最大收益？解析：设存款利率为x，则应有x∈(0,0.048)，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3.由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，得x＝0.032或x＝0(舍去)，又当0x0.032时，y′0；当0.032x0.048时，y′0，所以当x＝0.032时，y取得最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益．结束放映返回导航页归纳升华利用导数解决生活中的优化问题时：(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间．(2)一定要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去．(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．结束放映返回导航页变式训练3.已知函数f(x)＝ex＋ax，(1)设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋(e－1)y＝1垂直，求a的值；(2)若对于任意实数x≥0，f(x)0恒成立，试确定实数a的取值范围．解析：(1)由题知，f′(x)＝ex＋a.因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为e＋a，又直线x＋(e－1)y＝1的斜率为，∴＝－1.∴a＝－1.11-e1(e+a)1-e考向分层突破三：利用导数研究恒成立问题xexxxx(1-x)eex-e-=22xxxex(2)∵当x≥0时，f(x)＝ex＋ax0恒成立．∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝ex＋ax0恒成立．若x0，f(x)＝ex＋ax0恒成立，即当x0时，a－恒成立．设Q(x)＝－.Q′(x)＝当x∈(0,1)时，Q′(x)0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e，∴要使x≥0时，f(x)0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．结束放映返回导航页又x0，∴axlnx－x3.∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴h(x)h(1)＝－20，即g′(x)0，∴g(x)在(1，＋∞)上也单调递减．g(x)g(1)＝－1，∴当a≥－1时，f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立．同类练1．已知函数f(x)＝lnx－.若f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．ax解析：∵f(x)x2，∴lnx－x2.ax令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝211-6x-6x=xx结束放映返回导航页解析：(1)f′(x)＝，x＞0.令f′(x)＞0，得x＞1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．令f′(x)＜0，得0＜x＜1，因此函数f(x)的单调递减区间是(0,1)．(2)依题意，ma＜f(x)max.由(1)知，f(x)在x∈[1，e]上是增函数．∴f(x)max＝f(e)＝lne＋－1＝.变式练2已知函数f(x)＝lnx＋－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m∈R，对任意的a∈(－1,1)，总存在x0∈[1，e]，使得不等式ma－f(x0)＜0成立，求实数m的取值范围．1x1e11x-1-=x22xx11[-,]ee11011m1(1)0meeeme解得1e1e1e∴ma＜，即ma－＜0对于任意的a∈(－1,1)恒成立．∴∴m的取值范围是结束放映返回导航页拓展练3(2014•广东惠州4月模拟)已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]使得f(x1)g(x2)，求a的取值范围．又切点为(1,2)，所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y－1＝0.①当a≥0时，由于x0，故ax＋10，f′(x)0，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．解析：(1)由已知得f′(x)＝2＋(x0)，所以f′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k＝3.1x(2)f′(x)＝a＋(x0)，1ax+1=xx结束放映返回导航页(3)由已知知所求可转化为f(x)maxg(x)max.g(x)＝(x－1)2＋1，x∈[0,1]，所以g(x)max＝2，由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．②当a0时，由f′(x)＝0，得x＝－.在区间上，f′(x)0，在区间上，f′(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.1a1(0,-)a1(-,+)a1(-,+)a1(0,-)a当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值是f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2－1－ln(－a)，解得a－1(0,-)a1(-,+)a1(-)a1(-)a31e结束放映返回导航页利用导数解决参数问题主要涉及以下方面(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题．结束放映返回导航页例4(2014•全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．考向分层突破四：利用导数研究方程的根(或函数的零点)解析：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋