45南开大学微观经济学(内部资料倾情回赠)

第二章需求分析本章开始谈价格怎么配置资源的，即怎么影响消费选择。价格配置资源UMP(支出à商品需求)EMP(效用à商品需求)需求函数希克斯需求函数间接效用函数支出函数Slutsky方程一、需求函数（一）瓦尔拉斯需求函数商品需求定义：预算集中的效用最大化的解X*，反映*x与P与W的关系称为需求函数，表示成nwRpx),(。例子：设效用函数为：12121)(),(xxxxu，10，求需求函数2,1),,,(21iwppfxi。建立L函数：)()(),,(221112121xpxpwxxxxL一阶条件为：0)(111111211pxxxxL0)(121211212pxxxxL02211xpxpwL21121)(ppxx，直接推导112121122111)(ppxxxppx代入2211xpxpw，得到：121111111211211112112121)()(ppwpppppwpppxx；12111122ppwpx令1r，则有：rrrppwpx21111，rrrppwpx21122需求函数的三个性质（1）在价格和收入上，需求函数是零次齐次的：即对于任给p，w和满足0a,有),(),(wpxawapx经济含义是：如果价格和收入以同一比例变化，则消费者的需求数量保持不变。（2）瓦尔拉斯法则：任给),(wpxx有wxp经济含义：消费者会在有生之年用光他的全部资源（财富）。（3）凸性和唯一性。如果)(u是拟凹的，则),(wpx是一个凸集。思考如何证明。若)(u是严格拟凹的，则),(wpx只包含单一的元素。（二）间接效用函数定义：)],([),(*wpxuwpv，即需求函数代入原效用函数。例子：2121ln)1(ln),(xxxxu；s.t.wxpxp2211构造拉格朗日函数：221121ln1lnxpxpwxxL一阶条件：01111pxxL(1)；011222pxxL(2)02211xpxpwL(3)2112121ppxx12211ppxx(4)或21121ppxx（5）将（5）代入（3）wxpxpwppxpxp111121121111111111111pwxwxpwxp将（4）代入（3）wxpxpwxpppxp22222212211122222211111pwxwxpwxp∴11pwx，221pwx然后求解间接效用函数：将需求函数代入目标函数：2121ln)1(ln),(xxxxu21211ln)1(ln),,(pwpwwppv21lnln1ln)1(lnlnlnpwpw21ln1ln11ln1lnlnlnpwpw1ln1lnln1lnln21ppw∴cppwwppv2121ln)1(lnln),,(（仍然用P，W表示）其中：)1ln()1(lnc。间接效用函数的意义：控制消费者的消费行为实际上可以由控制价格p与控制收入w来实现。收入政策收入价格政策价格消费者效用最大化间接效用函数)(),(wpv间接效用函数的性质：（1）零齐次的，价格和财富同比例变动不影响效用；（2）在w上是严格递增的，并且对于任意n，它在np上都是非递增的，即价格上升降低效用，财富上升增加效用；证明：可以使用包络定理包络定理：最优点对a的偏导数等于目标函数对a的偏导数wxLwwpv),(),(；xpxLpwpv),(),(注意：pxx)(u（3）拟凸的，就是说对于任意v,集合｛vwpvwp),(:),(｝是凸集；B1B0B2（4）在p和w上是连续的。（三）罗伊等式反映了瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数的关系：wwpvpwpvwpxjj),(/),(),(，nj,,2,1。实际上就是两个决定要素（P，W）的边际效用之比。利用包络定理证明：)()(),(xpwxuxL),(***),(),(wpxxwxLwwpvxpxLpwpvwpxx*),(**),(),(两式相除即得罗伊等式。例子：cppwwppv2121ln)1(lnln),,(11ppv，221ppv，wwv111111xpwwpwvpv2222)1(1)1(xpwwpwvpv习题：试根据间接效用函数2121),,(ppwwppv，求相应的需求函数。一个间接效用函数在税收中应用例子。设一个消费者的效用函数为：2121),(xxxxu，)(221121xpxpwxxL一阶条件：02112122111pxxxL；02122122112pxxxL02211xpxpwL21122121212112ppxxppxxxx；112pwx；222pwx。若假定25.01p，12p，2w21)25.0(222)2()2(),,(2121221121221121ppwpwpwwppv考虑两种不同的征税方案：（1）政府征0.5元的所得税（降低收入），5.15.02w，5.11)25.0(25.1),,(2121wppv（2）政府仍征0.5元的税，但对商品1开征消费税（提高商品价格）。若每单位商品1征税为0.25元，则5.025.025.01p；25.022211pwx5.141.11)5.0(22),,(5.021wppv这个例子为我们展示了一个政策分析框架：根据政策目标给出最优化问题（目标函数、约束条件、控制变量）政策控制变量目标函数比较分析二、支出函数与对偶性原理（一）支出最小化问题与支出函数消费者为达到一个效用水平u，如何选择商品x，使之需要的财富支出最小。即有效率的利用消费者的购买力。所谓支出最小化问题（expenditureminimizationproblem，EMP）即：xpminuxuts)(..解得：jijixxuxxupp/*)(/*)(1．定义：支出函数),(upe为支出最小化问题的解，即在价格给定条件下消费者为达到效用而支付的最小支出。2.支出函数的一个例子。)(min2211xpxpuxxtsaa121..,10a,)(1212211aaxxuxpxpL一阶条件为：0121111aaxaxpxL（1）；0)1(2122aaxxapxL（2）；0121aaxxuL（3）2121211211)2()1(xppaaxppaaxx或12121xppaax分别代入uxxaa121得：uappaxa121*1])1([，uappaxa])1([21*2带入目标函数)(min2211xpxp得：uappapuappapupeaa])1([])1([),(2121211uppAaa121其中1)1(1aaaaA。2．支出函数的性质：（1）对p是一次齐次的；（2）对p是非递减的；（3）是关于p的凹函数；（4）当p0时，为连续函数。证明：（1）最小化xap)(将导出与最小化px相同的最优消费束*x，即：),(),(*upaexapuape（2）根据包络定理，0),(*xpLpupe，故支出函数对p是非递减的；（3）102)1(ppp，设x2为价格p2时达到效用u的一个最优消费束。21022])1([*),(xppxpupe=2120)1(xpxp),()1(),(10upeupe（4）连续性证明。（二）希克斯需求函数（Hicksdemandfunction）1．定义：EMP中的解为最优消费束*x，表示为nRuph),(，并且存在谢伯特（Shephard）定理：iiipupeuphx),(),(*证明：)]([),(xuuxpxL在xpmin处有)]([),(****xuuxpxL。利用包络定理可得：),(),(),(***uphxpxLpupeiiii2．希克斯需求函数的性质（1）),(uphi是p的零次齐次函数；（2）),(uphi是p的单调递减函数；（3）如果),(uphi可微，则有：ijjipuphpuph),(),(，kji,,1,（2）证明：22),(),(iiipupepuph，因为支出函数为凹函数，故0),(22ipupe，即0),(iipuph（3）证明：jijippupepuph),(),(2，ijijppupepuph),(),(2根据young定理，ijjippupeppupe),(),(22，即ijjipuphpuph),(),(（三）对偶定理前提：若效用函数)(u是严格单调和连续的，且消费者效用最大化和支出最小化问题均有解，则：1.)],(,[),(wpvphwpx瓦尔拉斯2.)],(,[),(upepxuph希克斯3.wwpvpe)],(,[支出函数4.uupepv)],(,[间接效用函数上述四个关系式中，)],(,[),(upepxuph最重要，其意义为希克斯需求与瓦尔拉斯需求指的是同一件事。需求既可用效用最大化解表示，也可用支出最小化解表示。思考：实证研究应该使用哪种需求？uxutsxp)(.minwxptsxu.)(max瓦尔拉斯需求函数x(p,w)希克斯需求函数h(p,u)),(wpvu代入),(upew代入间接效用函数代入目标函数),(wpv罗伊等式支出函数),(upe代入目标函数iipupeuph),(),(解出反函数w解出反函数u习题：设某消费者的间接效用函数为121),(ppwwpv，且10，求),(1uph。三、需求弹性弹性：wdwxdxwxE//变动的百分比变动的百分比（一）需求价格弹性（priceelasticityofdemand）1.定义：xpdpdxpdpxdxpdxdElnln习题：计算需求的价格弹性，其中需求函数为wpx2.由弹性决定的商品分类奢侈品(luxury)：1||E；必需品(necessity)：1||E3.由弹性定义的收入与价格变动的关系。pxw)1()1(Exdpdxxpxdpdxpxdpdpxdpdw根据E判断价格p与消费者购买商品支出之间的关系。p：1E；1E；1E在需求价格弹性基础上可以定义需求交叉价格弹性（cross-priceelasticityofdemand）ABBABBAABAABxpdpdxpdpxdxpdxdElnln（二）古诺合并条件自身的需求价格弹性à需求交叉价格弹性2211xpxpw，两边同时对1p求导有12211110pxppxpx，两边同时乘21211xxxxwp得到：1221211211212111110pxxxxxwpppxxxxxwppwpx