高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(二)――解决空间角的问题

立体几何中的向量方法(二)立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题.上一节,我们认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念,发现可以利用这两个向量的运算(特别是数量积)解决点、直线、平面之间的平行、垂直、夹角等问题.利用向量解决空间角问题空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。123(,,)aaaa1.若，123(,,),bbbb则：数量积：ab112233ababab夹角公式：cosab111222(,,),(,,)AxyzBxyz2.若，则：212121(,,)xxyyzzAB||||abab112233222222123123abababaaabbb||||cos,abab异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,CDAB与的关系？思考：,DCAB与的关系？结论：coscos,CDAB||题型一：线线角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.例一：090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角所以与所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBD113041053421BD1AF3010题型一：线线角练习：题型一：线线角在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM1(0,8,4),AD10AMAD＝1.ADAMADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M直线与平面所成角的范围：[0,]2ABO,nBA与的关系？思考：n结论：sincos,nAB||题型二：线面角θnαAB例二：题型二：线面角在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8,4),ADADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,ADAD255ADANM与平面所成角的正弦值是255练习1：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角题型二：线面角正方体ABCD1A1B1C1D题型三：二面角二面角的范围：[0,]1n2n关键：观察二面角的范围cos21,cosnncos21,cosnn题型三：二面角,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解：建立空直角坐系A-xyz如所示,A(0,0,0),11(1,,0),(0,,1)22CDSDC(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2(,,),SCDnxyz的法向量22,,nCDnSD由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n任取1212126cos,3||||nnnnnn63即所求二面角得余弦值是如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.zxy练习2:如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.zxy分析:若用几何法本题不太好处理,注意到适当建立空间直角坐标系后各点坐标容易处理,可考虑尝试用向量法处理,从而把问题转化为向量运算问题.解:建立坐标系如图,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),AP=(0,0,1),(2,1,0),AB(2,0,0),CB(0,1,1)CP,设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),练习2:解:建立坐标系如图,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.zxyAP=(0,0,1),(2,1,0),AB(2,0,0),CB(0,1,1)CP,∴(,,)(0,0,1)0(,,)(2,1,0)0xyzxyz∴20yxz,令x=1,则m=(1,2,0),设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则00mAPmAB设平面PBC的法向量为(,,)nxyz,(,,)(2,0,0)0(,,)(0,1,1)0xyzxyz∴0xyz令1,y(0,1,1)n∴cos3,||||3mnmnmn,∵二面角为锐角∴二面角A-PB-C的余弦值为33则00nCBnCP练习3:正三棱柱中，D是AC的中点,当时，求二面角的余弦值.111ABCABC11ABBC1DBCCCADBC1B1A122解:如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设底面三角形的边长为a，侧棱长为b31(,,0),22Aaa(0,,0),Ba31(,,0)44Daa1(0,0,),Cb1(0,,),Bab则C(0,0,0),故131(,,),22ABaab1(0,,),BCab由于,所以11ABBC2211102ABBCab∴22bayxzCADBC1B1A1在坐标平面yoz中BCC1∵设面的一个法向量为BDC1(,,)mxyz可取＝（1，0，0）为面的法向量BCC1∴n可求出一个62(,,1)22m∴所求的余弦值为22.练习3:小结：1.异面直线所成角：coscos,CDAB||2.直线与平面所成角：sincos,nAB||3.二面角：ABCD1DABOn1n2ncos21,cosnncos21,cosnn刚才的思考具有一般性,当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（回到图形）