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比和比例（一）百思迪威教育专题简析：我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。分析：甲、乙两数的比2：3=8:12乙、丙两数的比4：5=12:15甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。甲、乙、丙三数的比8：12：15练习1.甲数是乙数的45，乙数是丙数的58，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。2.甲数是乙数的45，甲数是丙数的49，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。3.甲数是丙数的37，乙数是丙数的212，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？分析：先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。①一、二两组人数的比2：3二、三两组人数的比4：5一、二、三组人数的比8：12：15②总份数：8+12+15＝35③第一组：140×835＝32（人）④第二组：140×1235＝48（人）⑤第三组：140×1535＝60（人）练习1.某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他作物面积的比6：1。每种作物各是多少公亩？2.黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5：4，第二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？3.科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5：7。已知数学组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3：4。原来甲校有图书多少本？分析：由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知，原来甲校图书的本数是两校图书总数的77+5，由于甲校给了乙校650本，这时甲校的图书占两校图书总数的33+4，甲校给乙校的650本图书，相当于两校图书总数的77+5－33+4＝1384。650÷（77+5－33+4）×77+5＝2450（本）练习1.小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：5。如果再读30页，则已读和未读的页数之比为3：5。这本书共有多少页？2.甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比为7：5。原来甲包有多少克糖？3.五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的13，二班与三班参加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子分得12，二儿子分得13，小儿子分得19，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？分析：因为12+13+19＝1718，1718﹤1，就是说三兄弟并未将全部牛分完，所以我们求出三个儿子分牛头数的连比，最后再按比例分配。从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子分得12，二儿子分得13，小儿子分得19，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？①三个儿子分牛头数的连比：12：13：19＝9：6：2②总份数：9+6+2＝17③三个儿子各分得牛的头数：17×917＝9（头）17×617＝6（头）17×217＝2（头）练习1.图书室取出一批书，按照一年级得12，二年级得13，三年级得17，正好是41本，各年级各得多少本？2.甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％，乙比丙多做13。三人各做多少个？两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？？分析：抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几再解答。①一个瓶中酒精占瓶子容积的比31+3＝34②另一个瓶中酒精占瓶子容积的比41+4＝45③两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比34+45＝3120④水占一个瓶子容积的比2－3120＝920⑤混合液中酒精与水的比3120：920＝31：9练习1.两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比是1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。2.将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1，乙队已修的与剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？3.光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的58，照这样的速度计算，全年可超产1000台。这个工厂上半年生产电视机多少台？甲、乙两种商品的价格比是7：3，如果他们的价格分别上涨70元，那么他们的价格比是7：4。甲商品原来的价格是多少元？分析（一）：因为AB两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应相同。原价格比7：3=21：9现价格比7：4=28：16（这样前后项的差都是12，价格涨了28-21=7份，是70元）70÷（28-21）=10（元）A：10×21=210（元）B：10×9=90（元）甲、乙两种商品的价格比是7：3，如果他们的价格分别上涨70元，那么他们的价格比是7：4。甲商品原来的价格是多少元？分析（二）由于两种商品的价格差不变，选两种商品的价格差做单位“1”进行解答。（1）原A商品的价格是价格差的几倍7÷（7-3)=7/4(2)后A商品的价格是价格差的几倍7÷（7-4)=7/3（3）AB两种商品的价格差是70÷（7/3-7/4)=120（元）（4）原A商品的价格是120÷（7-3）×7=210（元）（5）原B商品的价格是120÷（7-3）×3=90（元）表面积的计算例一：把一张长方形铁皮按下图剪料，正好能制成一只铁皮油桶，求所制成的油桶的表面积。（单位：厘米）分析：从图上可看出，要能围成一个圆柱桶。DE应是底面周长。假设圆柱地面直径为d，所以πd+d=16.56，（π+1）×d=16.56,d=4（厘米），CD=4×2=8（厘米），BC=16.56—4=12.56（厘米）表面积为：3.14X（4÷2）²X2+12.56X8=125.6(平方厘米）把一张长方形铁皮按如图剪下阴影部分制成圆柱体。求这个圆柱体的表面积。（圆桶盖的周长等于长方形铁皮的长）（单位：分米分析：因为圆桶盖的周长等于长方形铁皮的长，利用这个条件求出圆桶盖的直径，还可以求出圆柱的高。直径：18.84÷3.14=6（分米）高：10-6=4（分米）表面积：18.84×4+3.14×（6÷2）²×2=131.88分米²把19个边长为2厘米的正方形重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是多少平方厘米？分析：这些小正方体中每个面的面积为2×2=4厘米²。从上面和下面看到的小正方形都是9个；从前面和后面看到的小正方形都是10个；从左面和右面看到的小正方形都是8个。这个立方体的表面由9×2+8×2+10×2=54个小正方形组成，姑表面积为4×54=216（平方厘米）例2：把一段圆柱体木料沿着直径往下切成两块（如图）已知圆柱的底面直径为10厘米，高15厘米，求半个圆柱体的表面积。分析：这个半圆柱的表面积是由上、下两个半圆（相当于一个整圆、圆柱的半个侧面积和一个长方形）组成。例三：用铁皮做一个如图的零件，需用铁皮多少平方厘米？（零件是中空的）。分析如下:用两个同样的工件拼成一个圆柱，此时圆柱的侧面积为（46+54）×（15×3.14）=4710（平方厘米），所以这个零件的表面积为4710÷2=2355（平方厘米）。有一个棱长为4厘米的正方体，从它的右上方截去一个棱长分别为4厘米、2厘米和1厘米的长方体，求剩下部分的表面积。答案提示：实际上剩下部分与正方体相比，只少了两个长为2厘米，宽为1厘米的长方形的面积，原来正方体的表面积减去两个长为2厘米，宽为1厘米的长方形的面积。例四：一个圆柱底面积周长和高相等。如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米。求这个圆柱的表面积。分析：表面积减少12.56平方厘米，是因为高缩短2厘米造成的，也就是高2厘米所在的圆柱侧面积。所以用减少的面积除以缩短的高得底面周长。练习：一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，表面积增加25.12平方厘米，求原来圆柱的表面积是多少平方厘米？