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最大最小问题设计者：郑燕红专题简析：人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。分析：根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a－ba+b的最大值是99－199+1=4950。a和b是小于100的两个不同的自然数，求a－ba+b的最大值。练习1.设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求x－yx+y的最大值。2.a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求a－ba+b的最小值。3.设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求x+yx－y的最大值；②求x+yx－y的最小值。有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。这两个两位数的差最多是多少？分析：甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份。所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56练习1.有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。这两个两位数的差最多是多少？2.甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。这两个两位数的和最小是多少？3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？分析：这要考虑一些隐含的限制条件，可以这样思考：（1）要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数。（2）拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×35，所以加数不大于4的数还要继续拆小。（3）由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中可以不出现4。（4）拆出的加数中2的个数不能多于两个，例如拆成三个2，不如拆成两个3，因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3。因为14=3×4+2，所以把14拆成3，3，3，3，2时，积为3×3×3×3×2=162最大。练习1.把16拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？2.把50拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？3.把2001拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少？分析：因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝114而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57－1＝56练习1.三个连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是______。2.a、b、c是从小到大排列的三个数，且a－b＝b－c，前两个数的积与后两个数的积之差是280。如果b＝35，那么c是_____。3.被分数67，514，1021除得的结果都是整数的最小分数是______。三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。分析：因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886÷222能得到三个数字的和。设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为abc+acb+bac+bca+cab+cba＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2＝（a+b+c）×222＝2886即a+b+c＝2886÷222＝13练习1.有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108。所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？2.有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是2220。所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？3.用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数相加的和是2886。已知a、b、c三个数字中，最大的数字是最小数字的2倍，这6个三位数中最小的数是多少？